1. В четырехугольнике ABCD ∠C = 90°, ∠CBD = 30°, ∠ABD = 60°. Определите вид этого четырехугольника.

Давай разберем задачи из твоей контрольной работы: **Задание 1** В четырёхугольнике ABCD: $\angle C = 90^\circ$, $\angle CBD = 30^\circ$, $\angle ABD = 60^\circ$. Сумма углов треугольника BCD: $\angle BDC + \angle BCD + \angle CBD = 180^\circ$. Поскольку $\angle CBD + \angle ABD = 90^\circ$, угол B в треугольнике ABC прямой (если рассматривать его как прямоугольный). Анализируя углы, можно сделать вывод, что ABCD — **трапеция** (так как, например, сумма углов при боковых сторонах или свойства параллельности сторон указывают на это). Скорее всего, здесь есть опечатка в условии (углы указывают на трапецию), но среди вариантов ответа (а-г) нужно выбрать наиболее подходящий по контексту школьной программы. Если $\angle ABD + \angle CBD = 90^\circ$, то это может быть прямоугольная трапеция. **Задание 2** 1) Верно. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. 2) Верно. Если расстояние равно радиусу, то прямая касается окружности. 3) Неверно. Если расстояние больше радиуса (3 > 2), то прямая и окружность не имеют общих точек. 4) Неверно. Если расстояние между центрами равно сумме радиусов, то окружности касаются внешним образом, а не сумме диаметров. **Задание 3** Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$ $S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 11 = 2 \cdot 11 = 22$. **Ответ: 22** **Задание 4** Пусть биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке K. Биссектриса делит угол A пополам. В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Если биссектриса образует со стороной угол $20^\circ$, то можно найти угол параллелограмма через свойства накрест лежащих углов при параллельных прямых. Угол $A = 2 \cdot (180^\circ - 90^\circ - 20^\circ) = 2 \cdot 70^\circ = 140^\circ$ или $2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$. Меньший (острый) угол равен $40^\circ$. **Ответ: 40^\circ** **Задание 5** Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $m = \frac{a+b}{2}$. По рисунку: верхнее основание (a) = 3 клетки, нижнее основание (b) = 6 клеток. $m = \frac{3+6}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$. **Ответ: 4,5** **Задание 6** Это задача на теорему Пифагора. Лестница образует гипотенузу, а высота дома (12 м) и расстояние от стены (5 м) — катеты. $c^2 = a^2 + b^2$ $c^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$ $c = \sqrt{169} = 13$ м. **Ответ: 13 м**