Решите неравенство 12^x - 8^x - 2 · 6^{x+1} + 3 · 4^{x+1} + 32 · 3^x - 2^{x+5} ≤ 0

Для решения неравенства преобразуем каждое слагаемое, используя свойства степеней: $12^x = (3 \cdot 4)^x = 3^x \cdot 4^x$ $8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$ $2 \cdot 6^{x+1} = 2 \cdot 6 \cdot 6^x = 12 \cdot 2^x \cdot 3^x$ $3 \cdot 4^{x+1} = 3 \cdot 4 \cdot 4^x = 12 \cdot 4^x$ $32 \cdot 3^x = 32 \cdot 3^x$ $2^{x+5} = 2^5 \cdot 2^x = 32 \cdot 2^x$ Подставим преобразованные выражения в исходное неравенство: $3^x \cdot 4^x - 2^{3x} - 12 \cdot 2^x \cdot 3^x + 12 \cdot 4^x + 32 \cdot 3^x - 32 \cdot 2^x \le 0$ Сгруппируем слагаемые: $(3^x \cdot 4^x - 12 \cdot 2^x \cdot 3^x) + (12 \cdot 4^x - 32 \cdot 2^x) - (2^{3x} - 32 \cdot 3^x) \le 0$ Попробуем сгруппировать иначе для поиска общих множителей: $3^x(4^x - 12 \cdot 2^x + 32) - (2^{3x} - 12 \cdot 4^x + 32 \cdot 2^x) \le 0$ Заметим, что $2^{3x} = (2^x)^3$ и $4^x = (2^x)^2$. Пусть $t = 2^x$. Тогда выражение в скобках: $3^x(4^x - 12 \cdot 2^x + 32) = 3^x(t^2 - 12t + 32) = 3^x(t-4)(t-8)$ Вторая часть: $(t^3 - 12t^2 + 32t) = t(t^2 - 12t + 32) = t(t-4)(t-8)$ Подставляем обратно: $3^x(t-4)(t-8) - t(t-4)(t-8) \le 0$ $(3^x - t)(t-4)(t-8) \le 0$ $(3^x - 2^x)(2^x - 4)(2^x - 8) \le 0$ Находим нули каждой скобки: 1) $3^x - 2^x = 0 \implies (\frac{3}{2})^x = 1 \implies x = 0$ 2) $2^x - 4 = 0 \implies 2^x = 2^2 \implies x = 2$ 3) $2^x - 8 = 0 \implies 2^x = 2^3 \implies x = 3$ Методом интервалов определяем знаки на промежутках: - $(-\infty; 0]$: выражение $> 0$ - $[0; 2]$: выражение $\le 0$ - $[2; 3]$: выражение $\ge 0$ - $[3; +\infty)$: выражение $\le 0$ Искомые интервалы, где выражение меньше или равно нулю: $x \in [0; 2] \cup [3; +\infty)$. Ответ: $x \in [0; 2] \cup [3; +\infty)$.