Вычислите: 5 в степени log 5 3 умножить на 100 в степени - log 0,1 корня из 6

Привет! Давай разберем задания из твоего теста по логарифмам. ### Задание 1 Вычислите: $5^{\log_5 3} \cdot 100^{-\log_{0,1} \sqrt{6}}$ 1. Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$: $5^{\log_5 3} = 3$ 2. Преобразуем второй множитель. Заметим, что $0,1 = 10^{-1}$ и $100 = 10^2$: $100^{-\log_{0,1} \sqrt{6}} = (10^2)^{-\log_{10^{-1}} \sqrt{6}}$ По свойству логарифма $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$, имеем $\log_{10^{-1}} \sqrt{6} = \frac{1}{-1} \log_{10} \sqrt{6} = -\log_{10} \sqrt{6}$. Тогда показатель степени: $2 \cdot -(-\log_{10} \sqrt{6}) = 2 \log_{10} \sqrt{6} = \log_{10} (\sqrt{6})^2 = \log_{10} 6$. 3. Получаем $10^{\log_{10} 6} = 6$. 4. Перемножаем результаты: $3 \cdot 6 = 18$. **Ответ: C) 18.** ### Задание 2 Найдите значение выражения: $\frac{2}{5} (\log_3 81 + 16^{\log_2 3})^{\log_{25} 5}$ 1. Вычисляем значения внутри скобок: $\log_3 81 = \log_3 3^4 = 4$ $16^{\log_2 3} = (2^4)^{\log_2 3} = 2^{4 \log_2 3} = 2^{\log_2 3^4} = 3^4 = 81$ 2. Вычисляем внешний логарифм: $\log_{25} 5 = \log_{5^2} 5 = \frac{1}{2} \log_5 5 = 0,5$ 3. Считаем выражение: $\frac{2}{5} (4 + 81)^{0,5} = \frac{2}{5} (85)^{0,5} = \frac{2}{5} \sqrt{85}$. *Похоже, в условии опечатка, и вместо $16^{\log_2 3}$ должно быть $16^{\log_4 3}$ или иные числа для красивого ответа. Исходя из записанного условия, ответ $\frac{2}{5}\sqrt{85}$. Если предположить, что имелось в виду $16^{\log_4 3} = (4^2)^{\log_4 3} = 3^2 = 9$, тогда: $\frac{2}{5}(4+9)^{0,5} = \frac{2}{5}\sqrt{13}$. Проверь, пожалуйста, условие!* ### Задание 3 Решите уравнение: $2 - \log_2(4 - 3x) = \log_2 3 - \log_2(2 - 3x)$ 1. ОДЗ: $4 - 3x > 0 \Rightarrow x < 4/3$ и $2 - 3x > 0 \Rightarrow x < 2/3$. Итого $x < 2/3$. 2. Перенесем логарифмы в одну сторону: $2 - \log_2 3 = \log_2(4 - 3x) - \log_2(2 - 3x)$ 3. Запишем $2$ как $\log_2 4$: $\log_2 4 - \log_2 3 = \log_2 \frac{4-3x}{2-3x}$ $\log_2 \frac{4}{3} = \log_2 \frac{4-3x}{2-3x}$ 4. Приравниваем аргументы: $\frac{4}{3} = \frac{4-3x}{2-3x}$ 5. Решаем крест-накрест: $4(2-3x) = 3(4-3x)$ $8 - 12x = 12 - 9x$ $-3x = 4$ $x = -4/3$ Проверка: $-4/3 < 2/3$, корень подходит. **Ответ: $x = -4/3$.**