Вращая полуокружность с диаметром 8 см., получили тело вращения. Найти объём и площадь этого тела.

Давай разберем задания из твоего билета по порядку. Если нужно решить что-то конкретное из представленных, напиши номер, а пока я помогу с этими задачами: ### 1. Тело вращения (полуокружность) Если вращать полуокружность вокруг диаметра, получится шар. Диаметр $d = 8$ см, значит, радиус $R = 4$ см. * **Объем шара:** $V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 4^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 64 = \frac{256}{3}\pi \approx 85,33\pi$ см$^3$. * **Площадь поверхности шара:** $S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 4^2 = 4\pi \cdot 16 = 64\pi$ см$^2$. ### 2. Билет №9 (Производная) $y = x^5 \cdot (3x^2 + x)$ Сначала раскроем скобки: $y = 3x^7 + x^6$ Теперь найдем производную: $y' = (3x^7)' + (x^6)' = 3 \cdot 7x^6 + 6x^5 = 21x^6 + 6x^5$. ### 3. Билет №10 (Исследование функции) $y = -x^2 - 4x + 1$ Это парабола, ветви направлены вниз ($a = -1 < 0$). 1. **Вершина:** $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = -\frac{4}{-2} = -2$. $y_0 = -(-2)^2 - 4(-2) + 1 = -4 + 8 + 1 = 5$. Вершина $(-2; 5)$. 2. **Производная:** $y' = -2x - 4$. Найдем критические точки: $-2x - 4 = 0 \Rightarrow x = -2$. 3. **Интервалы монотонности:** * При $x < -2$ (например, $-3$): $y' = -2(-3) - 4 = 6 - 4 = 2 > 0$ (функция возрастает). * При $x > -2$ (например, $0$): $y' = -2(0) - 4 = -4 < 0$ (функция убывает). 4. **Точки пересечения:** * С осью $OY$ ($x=0$): $y = 1$. Точка $(0; 1)$. * С осью $OX$ ($y=0$): $-x^2 - 4x + 1 = 0 \Rightarrow x^2 + 4x - 1 = 0$. $D = 16 - 4(1)(-1) = 20$. $x = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}$. Точки $(-2-\sqrt{5}; 0)$ и $(-2+\sqrt{5}; 0)$.