Решите уравнение sin x = √3/2

### Решения: **8. Решите уравнение $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.** Корни уравнения находятся по формуле $x = (-1)^k \arcsin a + \pi k$. $x = (-1)^k \cdot \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in Z$. В тестах обычно записывают как $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$. **Ответ: 3** **9. Решите уравнение $\log_{11}(2x) = \log_{11}(x + 10)$.** ОДЗ: $x > 0$ и $x + 10 > 0 \implies x > 0$. $2x = x + 10 \implies x = 10$. **Ответ: 2** **10. Решите неравенство $5^{x-4} < 125$.** $5^{x-4} < 5^3 \implies x - 4 < 3 \implies x < 7$. *Примечание:* В вариантах ответа ошибка (написано 4, но должно быть 7). Если следовать строго тексту, то из $x-4 < 3$ следует $(-\infty; 7)$. **11. Найдите длину вектора $\vec{AB}$, если $A(-1; 3; -3)$; $B(4; -5; 1)$.** $\vec{AB} = (4 - (-1); -5 - 3; 1 - (-3)) = (5; -8; 4)$. $|\vec{AB}| = \sqrt{5^2 + (-8)^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 64 + 16} = \sqrt{105}$. **Ответ: 2** **12. Сократите дробь $\frac{n!}{(n+1)!}$.** $\frac{n!}{(n+1) \cdot n!} = \frac{1}{n+1}$. **Ответ: 3** **13. Решите показательное уравнение: $49^{x+1} = (\frac{1}{7})^x$.** $7^{2(x+1)} = 7^{-x} \implies 2x + 2 = -x \implies 3x = -2 \implies x = -\frac{2}{3}$. **14. Найдите все первообразные функции $f(x) = 5x^3 + 2x$.** $F(x) = 5 \cdot \frac{x^4}{4} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 1.25x^4 + x^2 + C$. **15. Решите уравнение $x + 2 = 2\sqrt{x+5}$.** Возведем в квадрат (при $x+2 \ge 0$): $x^2 + 4x + 4 = 4(x+5) \implies x^2 + 4x + 4 = 4x + 20 \implies x^2 = 16 \implies x = 4$ (так как $x \ge -2$, корень $-4$ не подходит). **Ответ: 4** **16. Образующая конуса $l=12$ см, угол между образующей и плоскостью основания $30^{\circ}$. Найдите объем.** Радиус основания $r = l \cdot \cos 30^{\circ} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$. Высота $h = l \cdot \sin 30^{\circ} = 12 \cdot 0.5 = 6$. $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (6\sqrt{3})^2 \cdot 6 = 2\pi \cdot 108 = 216\pi$. **17. Какова вероятность, что при одном броске кубика выпадет четное число?** Всего исходов: 6. Благоприятные (2, 4, 6): 3. $P = 3/6 = 0.5$. **18. Найдите наибольшее значение $f(x) = 5 - 8x - x^2$ на $[-6; -3]$.** $f'(x) = -8 - 2x$. Приравняем к нулю: $-2x = 8 \implies x = -4$. Точка $x = -4$ входит в отрезок. $f(-4) = 5 - 8(-4) - (-4)^2 = 5 + 32 - 16 = 21$. $f(-6) = 5 - 8(-6) - 36 = 5 + 48 - 36 = 17$. $f(-3) = 5 - 8(-3) - 9 = 5 + 24 - 9 = 20$. Наибольшее значение 21. **19. Решите уравнение $\cos^2 x + \cos x = 0$.** $\cos x (\cos x + 1) = 0$. 1) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. 2) $\cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi k$. **20. Параллелепипед: стороны $a=3, b=5$. Диагональ боковой грани к плоскости основания $60^{\circ}$.** Пусть $h$ — высота параллелепипеда. 1) Грань со стороной 3: $\tan 60^{\circ} = h/3 \implies h = 3\sqrt{3}$. 2) Грань со стороной 5: $\tan 60^{\circ} = h/5 \implies h = 5\sqrt{3}$. Т.к. высота одна, возможно, $60^{\circ}$ — угол для грани 5 (тогда $h = 5\sqrt{3}$) или 3 (тогда $h=3\sqrt{3}$). Обычно имеется в виду большая из граней. Если $h=5\sqrt{3}$, то $S_{полн} = 2(3\cdot 5 + 3\cdot 5\sqrt{3} + 5\cdot 5\sqrt{3}) = 30 + 30\sqrt{3} + 50\sqrt{3} = 30 + 80\sqrt{3}$.