Исследовать функцию с помощью производной и построить её график y = -x^2 - 4x + 1

Для исследования функции $y = -x^2 - 4x + 1$ с помощью производной выполним следующие шаги: 1. **Область определения**: Функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$. 2. **Нахождение производной**: $y' = -2x - 4$. 3. **Критические точки**: Приравняем производную к нулю: $-2x - 4 = 0 \Rightarrow -2x = 4 \Rightarrow x = -2$. 4. **Промежутки монотонности**: - При $x < -2$ (например, $x = -3$): $y' = -2(-3) - 4 = 6 - 4 = 2 > 0$ (функция возрастает). - При $x > -2$ (например, $x = 0$): $y' = -2(0) - 4 = -4 < 0$ (функция убывает). 5. **Экстремумы**: В точке $x = -2$ функция имеет максимум. Найдем значение функции: $y(-2) = -(-2)^2 - 4(-2) + 1 = -4 + 8 + 1 = 5$. Точка максимума $(-2; 5)$. 6. **Дополнительные точки для графика**: - Точки пересечения с осью $OY$ ($x=0$): $y = 1$. Точка $(0; 1)$. - Точки пересечения с осью $OX$ ($y=0$): $-x^2 - 4x + 1 = 0 \Rightarrow x^2 + 4x - 1 = 0$. $D = 16 - 4(1)(-1) = 20$. $\sqrt{D} = 2\sqrt{5} \approx 4.47$. $x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}$. $x_1 \approx 0.24, x_2 \approx -4.24$. :::div .chart-container @chart-1:::