22. (3 б) Найдите решение уравнения cos 2x + 2 cos^2 x - sin 2x = 0

Для решения уравнения $\cos 2x + 2\cos^2 x - \sin 2x = 0$ воспользуемся формулами тригонометрии: 1. Вспомним формулу понижения степени: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$, откуда $2\cos^2 x = 1 + \cos 2x$. 2. Подставим это в наше уравнение: $\cos 2x + (1 + \cos 2x) - \sin 2x = 0$ $2\cos 2x - \sin 2x + 1 = 0$ $2\cos 2x - \sin 2x = -1$ 3. Используем формулы двойного угла через тангенс половинного угла $t = \tan x$: $\cos 2x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$, $\sin 2x = \frac{2t}{1 + t^2}$ Подставим их в уравнение: $2 \cdot \frac{1 - t^2}{1 + t^2} - \frac{2t}{1 + t^2} = -1$ Умножим обе части на $(1 + t^2)$ (так как $1 + t^2 \neq 0$): $2(1 - t^2) - 2t = -(1 + t^2)$ $2 - 2t^2 - 2t = -1 - t^2$ $2 - 2t^2 - 2t + 1 + t^2 = 0$ $-t^2 - 2t + 3 = 0$ $t^2 + 2t - 3 = 0$ 4. Решим квадратное уравнение через дискриминант или теорему Виета: По теореме Виета: $t_1 + t_2 = -2$ $t_1 \cdot t_2 = -3$ Корни: $t_1 = 1$, $t_2 = -3$ 5. Вернемся к замене $t = \tan x$: а) $\tan x = 1$ $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ б) $\tan x = -3$ $x = \arctan(-3) + \pi n = -\arctan 3 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ **Ответ:** $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$; $x = -\arctan 3 + \pi n, k, n \in \mathbb{Z}$.