Высота пирамиды 16 см; площадь основания 512 см^2. На каком расстоянии от основания находится сечение параллельное ему, если площадь сечения 50 см^2.

Привет! Давай разберем задачи по геометрии из твоего варианта. ### 1. Задача про пирамиду Пусть $H = 16$ см — высота пирамиды, $S_{осн} = 512$ см² — площадь основания. Площадь сечения $S_{сеч} = 50$ см². Сечение параллельно основанию, значит, оно подобно основанию. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату отношения их расстояний от вершины пирамиды ($h_1/H)^2 = S_{сеч}/S_{осн}$. $(h_1/16)^2 = 50/512 = 25/256$. $h_1/16 = \sqrt{25/256} = 5/16$. $h_1 = 5$ см (расстояние от вершины до сечения). Расстояние от основания = $H - h_1 = 16 - 5 = 11$ см. **Ответ: 11 см.** ### 2. Задача про цилиндр Высота $H = 20$ см, радиус $R = 15$ см. Сечение параллельно оси, расстояние от оси до сечения $d = 9$ см. В сечении получается прямоугольник со сторонами $H$ и $a$. Сторона $a = 2 \cdot \sqrt{R^2 - d^2} = 2 \cdot \sqrt{15^2 - 9^2} = 2 \cdot \sqrt{225 - 81} = 2 \cdot \sqrt{144} = 2 \cdot 12 = 24$ см. Площадь сечения $S = a \cdot H = 24 \cdot 20 = 480$ см². **Ответ: 480 см².** ### 3. Уравнение шара Точки $A(2;0;-3)$ и $B(4;-1;2)$ лежат на прямой, проходящей через центр шара. Значит, отрезок $AB$ — диаметр. Центр шара $O$ — середина $AB$: $O((2+4)/2; (0-1)/2; (-3+2)/2) = (3; -0,5; -0,5)$. Радиус $R$ — расстояние от центра до точки $A$: $R^2 = (3-2)^2 + (-0,5-0)^2 + (-0,5-(-3))^2 = 1^2 + (-0,5)^2 + 2,5^2 = 1 + 0,25 + 6,25 = 7,5$. Уравнение шара: $(x-3)^2 + (y+0,5)^2 + (z+0,5)^2 = 7,5$. **Ответ: $(x-3)^2 + (y+0,5)^2 + (z+0,5)^2 = 7,5$.** ### 4. Объем пирамиды Основание — прямоугольник со сторонами $a=6$, $b=8$. Диагональ основания $d = \sqrt{6^2+8^2} = 10$. Половина диагонали $R = 5$ см. Так как все боковые ребра равны ($13$ см), вершина проецируется в центр описанной окружности (середину диагонали). Высота пирамиды $H = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169-25} = \sqrt{144} = 12$ см. Объем $V = 1/3 \cdot S_{осн} \cdot H = 1/3 \cdot (6 \cdot 8) \cdot 12 = 1/3 \cdot 48 \cdot 12 = 192$ см³. **Ответ: 192 см³.** ### 5. Объем усеченного конуса $r=3$ см, $R=5$ см, образующая $l=8$ см. Высота $H = \sqrt{l^2 - (R-r)^2} = \sqrt{8^2 - (5-3)^2} = \sqrt{64 - 4} = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}$ см. Объем $V = 1/3 \cdot \pi \cdot H \cdot (R^2 + Rr + r^2) = 1/3 \cdot \pi \cdot 2\sqrt{15} \cdot (25 + 15 + 9) = 1/3 \cdot \pi \cdot 2\sqrt{15} \cdot 49 = (98\pi\sqrt{15})/3$ см³. **Ответ: $(98\pi\sqrt{15})/3$ см³.**