11. (2 балла) Исследовать функцию и построить ее график $y = -\frac{x^4}{3} + x^2$

Привет! Давай разберем твои задания по порядку. ### 11. Исследование функции $y = -\frac{x^4}{3} + x^2$ Это четная функция, симметричная относительно оси $Oy$. Найдем производную: $y' = -\frac{4}{3}x^3 + 2x = 2x(1 - \frac{2}{3}x^2)$. Критические точки: $x=0$, $x^2=1.5 \Rightarrow x=\pm \sqrt{1.5} \approx \pm 1.22$. Экстремумы: минимум в $(0; 0)$, максимумы в $(\pm 1.22; 0.75)$. :::div .chart-container @chart-1::: ### 12. Решение уравнения $\cos^2 x - 2 \cos x = 0$ Вынесем $\cos x$ за скобки: $\cos x (\cos x - 2) = 0$ Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: 1) $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. 2) $\cos x = 2$ — решений нет, так как $|\cos x| \le 1$. **Ответ:** $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. ### 13. Объем детали 1. Найдем площадь основания сосуда $S_{осн}$. Мы знаем, что $V_1 = S_{осн} \cdot h_1$, где $V_1 = 2000 \text{см}^3$, $h_1 = 12 \text{см}$. $S_{осн} = \frac{2000}{12} = \frac{500}{3} \text{см}^2$. 2. Объем погруженной детали равен объему вытесненной воды. Уровень поднялся на $9 \text{см}$, значит объем детали $V_{\text{дет}} = S_{осн} \cdot \Delta h = \frac{500}{3} \cdot 9 = 500 \cdot 3 = 1500 \text{см}^3$. **Ответ:** $1500 \text{см}^3$. ### 14. Площадь фигуры Допущение: прямые $a=1, b=2$ — это границы $x=1$ и $x=2$. Нужно найти определенный интеграл: $\int_{1}^{2} (x^2 - 2x + 2) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + 2x \right]_{1}^{2}$. Вычисляем значения: При $x=2$: $\frac{8}{3} - 4 + 4 = \frac{8}{3} \approx 2.67$. При $x=1$: $\frac{1}{3} - 1 + 2 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3} \approx 1.33$. Разность: $\frac{8}{3} - \frac{4}{3} = \frac{4}{3} \approx 1.33$. **Ответ:** $1\frac{1}{3}$ (или $\approx 1.33$ кв. ед.).