Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение (1-4): 1. x^4 - ax^2 + 12a - 3a^2 = 0 имеет ровно три корня.

Давай разберем задачу 1 из I варианта: $x^4 - ax^2 + 12a - 3a^2 = 0$, необходимо найти все $a$, при которых уравнение имеет ровно 3 корня. ### Решение: 1. Сгруппируем слагаемые, содержащие $a$: $x^4 - ax^2 - 3a^2 + 12a = 0$ $x^4 - (a^2 - 4a) \cdot 3$ (не подходит для простой группировки). Давай перепишем иначе: $x^4 - ax^2 + 3(4a - a^2) = 0$. Заметим, что $x^4 - ax^2 - 3a^2 + 12a = 0$ можно разложить на множители. Рассмотрим как квадратное относительно $a$: $-3a^2 + a(12 - x^2) + x^4 = 0$. Корни этого квадратного уравнения относительно $a$: $D = (12 - x^2)^2 - 4(-3)(x^4) = 144 - 24x^2 + x^4 + 12x^4 = 13x^4 - 24x^2 + 144$. Это выглядит громоздко. Попробуем иначе: уравнение $x^4 - ax^2 + 12a - 3a^2 = 0$. Выразим $a$: $3a^2 + a(x^2 - 12) - x^4 = 0$. Дискриминант $D_a = (x^2 - 12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-x^4) = x^4 - 24x^2 + 144 + 12x^4 = 13x^4 - 24x^2 + 144$. Корни $a = \frac{-(x^2-12) \pm \sqrt{13x^4 - 24x^2 + 144}}{6}$. Более простой способ: уравнение можно представить как $(x^2 - a)(x^2 + a - 12) = 0$ не выходит. Проверим разложение: $(x^2 - 3a)(x^2 + 2a - 4)$? Нет. Разложим $x^4 - ax^2 + 12a - 3a^2 = (x^2 - 3a)(x^2 + 2a - 4)$ неверно. Правильное разложение: $x^4 - ax^2 - 3a^2 + 12a = 0$. Заметим, что если $x^2 = 3a$, то $9a^2 - 3a^2 - 3a^2 + 12a = 3a^2 + 12a = 3a(a+4) = 0$. Значит, $(x^2 - 3a)$ — множитель. $x^4 - ax^2 - 3a^2 + 12a = (x^2 - 3a)(x^2 + 2a - 4) = 0$. Корни уравнения: 1) $x^2 = 3a$ 2) $x^2 = 4 - 2a$ Уравнение имеет ровно 3 корня, если один из корней равен 0, а другие два — симметричны и отличны от нуля, либо если один корень «двоится» (что в $x^2=k$ невозможно, так как корни $\pm \sqrt{k}$). Случаи: - Если $3a = 0 \implies a = 0$. Уравнение: $x^2=0$ ($x=0$) и $x^2=4$ ($x=\pm 2$). Корни: $\{-2, 0, 2\}$. Ровно 3 корня. **Подходит**. - Если $4 - 2a = 0 \implies a = 2$. Уравнение: $x^2=6$ ($x=\pm \sqrt{6}$) и $x^2=0$ ($x=0$). Корни: $\{-\sqrt{6}, 0, \sqrt{6}\}$. Ровно 3 корня. **Подходит**. - Если $3a = 4 - 2a$ и $3a > 0$ (тогда $x^2=3a$ дает 2 корня, а другие значения не добавляют корней). $5a = 4 \implies a = 0.8$. Тогда $x^2 = 2.4$. Корни $\pm \sqrt{2.4}$ — всего 2 корня. Не подходит. **Ответ:** $a = 0$ или $a = 2$.