5) \sqrt{7x + y} + \sqrt{x + y} = 6 \sqrt{x + y} - y + x = 2

Давай разберем эти системы уравнений по порядку. ### Решение задания 5 $$\begin{cases} \sqrt{7x+y} + \sqrt{x+y} = 6 \\ \sqrt{x+y} - y + x = 2 \end{cases}$$ Пусть $u = \sqrt{x+y}$ (где $u \ge 0$) и $v = \sqrt{7x+y}$. Заметим, что $v^2 - u^2 = (7x+y) - (x+y) = 6x$, откуда $x = \frac{v^2-u^2}{6}$. Так как $u = \sqrt{x+y}$, то $u^2 = x+y$, значит $y = u^2 - x = u^2 - \frac{v^2-u^2}{6} = \frac{6u^2 - v^2 + u^2}{6} = \frac{7u^2 - v^2}{6}$. Первое уравнение: $v + u = 6 \Rightarrow v = 6 - u$. Подставим это во второе уравнение: $u - y + x = 2 \Rightarrow u - (\frac{7u^2 - v^2}{6}) + (\frac{v^2-u^2}{6}) = 2$. $u - \frac{7u^2 - v^2 - v^2 + u^2}{6} = 2 \Rightarrow u - \frac{8u^2 - 2v^2}{6} = 2$. Так как $v = 6-u$, то $v^2 = (6-u)^2 = 36 - 12u + u^2$. Подставляем: $u - \frac{8u^2 - 2(36 - 12u + u^2)}{6} = 2 \Rightarrow 6u - (8u^2 - 72 + 24u - 2u^2) = 12$ $6u - 6u^2 + 72 - 24u = 12 \Rightarrow -6u^2 - 18u + 60 = 0 \Rightarrow u^2 + 3u - 10 = 0$. Корни: $u_1 = 2$, $u_2 = -5$ (не подходит, т.к. $u \ge 0$). Если $u = 2$, то $v = 6 - 2 = 4$. $u^2 = x+y = 4$ и $v^2 = 7x+y = 16$. Вычитаем: $(7x+y) - (x+y) = 16 - 4 \Rightarrow 6x = 12 \Rightarrow x = 2$. $2+y = 4 \Rightarrow y = 2$. **Ответ: (2; 2).** ### Решение задания 6 $$\begin{cases} x^2 + x\sqrt[3]{xy^2} = 80 \\ y^2 + y\sqrt[3]{x^2y} = 5 \end{cases}$$ Заметим, что $x\sqrt[3]{xy^2} = x(xy^2)^{1/3} = x^{4/3}y^{2/3}$ и $y\sqrt[3]{x^2y} = y(x^2y)^{1/3} = x^{2/3}y^{4/3}$. Пусть $a = x^{2/3}$ и $b = y^{2/3}$. Тогда $x^2 = a^3$ и $y^2 = b^3$. Система выглядит как $a^3 + a^2b = 80$ и $b^3 + ab^2 = 5$. Разделим уравнения: $\frac{a^2(a+b)}{b^2(b+a)} = \frac{80}{5} \Rightarrow \frac{a^2}{b^2} = 16 \Rightarrow a = 4b$ (т.к. $x, y > 0$). Подставим $a=4b$ в $b^3 + ab^2 = 5$: $b^3 + (4b)b^2 = 5 \Rightarrow 5b^3 = 5 \Rightarrow b = 1 \Rightarrow y^2 = 1^3 = 1 \Rightarrow y = 1$. Тогда $a = 4(1) = 4 \Rightarrow x^2 = 4^3 = 64 \Rightarrow x = 8$. **Ответ: (8; 1).** ### Решение задания 7 $$\begin{cases} \sqrt{x+y} + \sqrt{y+z} = 3 \\ \sqrt{y+z} + \sqrt{z+x} = 5 \\ \sqrt{z+x} + \sqrt{x+y} = 4 \end{cases}$$ Пусть $a = \sqrt{x+y}$, $b = \sqrt{y+z}$, $c = \sqrt{z+x}$. $$\begin{cases} a + b = 3 \\ b + c = 5 \\ c + a = 4 \end{cases}$$ Сложим все три уравнения: $2(a+b+c) = 12 \Rightarrow a+b+c = 6$. Тогда: $c = (a+b+c) - (a+b) = 6 - 3 = 3$. $a = (a+b+c) - (b+c) = 6 - 5 = 1$. $b = (a+b+c) - (a+c) = 6 - 4 = 2$. Теперь переходим к исходным переменным: $\sqrt{x+y} = 1 \Rightarrow x+y = 1$ $\sqrt{y+z} = 2 \Rightarrow y+z = 4$ $\sqrt{z+x} = 3 \Rightarrow z+x = 9$ Складываем: $2(x+y+z) = 14 \Rightarrow x+y+z = 7$. $z = 7 - (x+y) = 7 - 1 = 6$. $x = 7 - (y+z) = 7 - 4 = 3$. $y = 7 - (z+x) = 7 - 9 = -2$. **Ответ: (3; -2; 6).**