Практикум № 16 Определение периода колебаний пружинного маятника 1. Груз висит на пружине. Если его вывести из состояния равновесия, то он начнет совершать колебания с периодом 0,5 с. На сколько укоротится пружина, если с нее снять груз?

Для решения задач используем формулы пружинного маятника: Период $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$, циклическая частота $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$. Удлинение пружины под действием груза: $x = \frac{F}{k} = \frac{mg}{k}$. Из формулы периода: $T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k} \Rightarrow \frac{m}{k} = \frac{T^2}{4\pi^2}$. Подставим в формулу удлинения: $x = g \cdot \frac{m}{k} = g \cdot \frac{T^2}{4\pi^2}$. Примем $g \approx 10 \text{ м/с}^2$, $\pi^2 \approx 10$. 1. $x = 10 \cdot \frac{0{,}5^2}{4 \cdot 10} = \frac{0{,}25}{4} = 0{,}0625 \text{ м} = 6{,}25 \text{ см}$. Ответ: пружина укоротится на 6,25 см. 2. $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = 10 \text{ рад/с} \Rightarrow \frac{k}{m} = 100 \Rightarrow \frac{m}{k} = \frac{1}{100} = 0{,}01$. $x = g \cdot \frac{m}{k} = 10 \cdot 0{,}01 = 0{,}1 \text{ м} = 10 \text{ см}$. Ответ: пружина укоротится на 10 см. 3. $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{0{,}25}{100}} = 2\pi \sqrt{0{,}0025} = 2\pi \cdot 0{,}05 = 0{,}1\pi \approx 0{,}314 \text{ с}$. Время для 10 колебаний: $t = 10 \cdot T = 10 \cdot 0{,}314 = 3{,}14 \text{ с}$. Ответ: 3,14 с. 4. $T = \frac{t}{n} = \frac{16}{20} = 0{,}8 \text{ с}$. $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \Rightarrow T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k} \Rightarrow m = \frac{T^2 k}{4\pi^2}$. $m = \frac{0{,}8^2 \cdot 250}{4 \cdot 10} = \frac{0{,}64 \cdot 250}{40} = \frac{160}{40} = 4 \text{ кг}$. Ответ: 4 кг. 5. $n = 45$, $t = 60 \text{ с}$, $m = 5 \text{ кг}$. $T = \frac{t}{n} = \frac{60}{45} = \frac{4}{3} \text{ с}$. $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \Rightarrow T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k} \Rightarrow k = \frac{4\pi^2 m}{T^2}$. $k = \frac{4 \cdot 10 \cdot 5}{(4/3)^2} = \frac{200}{16/9} = \frac{200 \cdot 9}{16} = \frac{1800}{16} = 112{,}5 \text{ Н/м}$. Ответ: 112,5 Н/м.