Вычислите 12^(1/3) * 6^(2/3) * (0,5)^(1/3).

Привет! Давай разберем задания из твоей экзаменационной работы. ### 1. Вычисление $12^{1/3} \cdot 6^{2/3} \cdot (0,5)^{1/3} = (12 \cdot 0,5)^{1/3} \cdot 6^{2/3} = 6^{1/3} \cdot 6^{2/3} = 6^{1/3 + 2/3} = 6^1 = 6$. **Ответ: 6.** ### 2. Решение неравенства $2 \lg 0,5 + \lg x > \lg 5$ ОДЗ: $x > 0$. $\lg (0,5)^2 + \lg x > \lg 5$ $\lg (0,25 \cdot x) > \lg 5$ $0,25x > 5$ $x > 5 / 0,25 = 20$. Так как $20 > 0$, ответ удовлетворяет ОДЗ. **Ответ: (20; +∞).** ### 3. Решение уравнения $\cos(-x) = \sin(\pi/2)$ Так как функция косинус четная, $\cos(-x) = \cos(x)$. $\sin(\pi/2) = 1$. $\cos(x) = 1$. $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. **Ответ: $2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.** ### 4. Описание графика функции Нам даны условия для непрерывной функции: а) Область определения: $[-5; 3]$. б) Область значений: $[-4; 2]$. в) Монотонность (по производной): - на $(-5; -3)$ и $(-3; 0)$ производная отрицательна $\Rightarrow$ функция убывает. - на $(0; 3)$ производная положительна $\Rightarrow$ функция возрастает. г) В точке $x = -3$ производная не определена (так как $-3$ - единственный нуль производной, но в условии сказано "единственный нуль", значит, возможно, это точка излома или вертикальная касательная, но так как функция непрерывна, просто покажем экстремум). График будет идти вниз от $x=-5$ (значение $2$ при $x=-5$ и $-4$ при $x=-3$, например), затем от $x=-3$ снова вниз до $x=0$ (до $-4$), и затем вверх до $x=3$ (значение $2$ при $x=3$). ### 5. Поиск всех функций с заданной производной Дано $f'(x) = x^2 - 4x$. Чтобы найти функцию, нужно взять интеграл: $f(x) = \int (x^2 - 4x) dx = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + C$, где $C$ — константа. **Ответ: $f(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + C$.**