Действительные числа. Вычисление погрешностей. Исследование функции при помощи производной.

### 1. Действительные числа и вычисление погрешностей **Действительные числа** — это множество, объединяющее рациональные (целые и дробные) и иррациональные (бесконечные непериодические дроби, например, $\pi$, $\sqrt{2}$) числа. Они заполняют всю числовую прямую непрерывно. **Вычисление погрешностей** необходимо при работе с приближенными числами: - **Абсолютная погрешность ($\Delta$):** модуль разности между точным ($a$) и приближенным ($x$) значениями. Формула: $\Delta = |a - x|$. Она показывает, на сколько «ошиблись» в абсолютных единицах. - **Относительная погрешность ($\varepsilon$):** отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения. Формула: $\varepsilon = \frac{\Delta}{|x|}$. Обычно ее записывают в процентах (умножают на 100%). Она показывает качество измерения. ### 2. Исследование функции при помощи производной Исследование функции $y = f(x)$ помогает понять её «поведение» (где растет, где падает, где пики). Основной алгоритм: 1. **Область определения:** находим все $x$, при которых функция существует. 2. **Первая производная:** находим $f'(x)$. 3. **Критические точки:** решаем уравнение $f'(x) = 0$ (или находим точки, где производная не существует). Это «кандидаты» на экстремумы. 4. **Интервалы монотонности:** проверяем знак производной в промежутках между критическими точками: - Если $f'(x) > 0$, функция **возрастает**. - Если $f'(x) < 0$, функция **убывает**. 5. **Экстремумы:** - Если при проходе через точку $x_0$ производная меняет знак с «+» на «-», то в $x_0$ — **максимум**. - Если знак меняется с «-» на «+», то в $x_0$ — **минимум**. 6. **Дополнительно:** можно найти интервалы выпуклости/вогнутости с помощью второй производной $f''(x)$, где $f''(x) > 0$ — вогнутость, $f''(x) < 0$ — выпуклость.