Задание 5: Постройте график функции $y = \frac{x^2 - 25}{2x + 10}$.

Для решения этих задач сначала нужно упростить выражения, учитывая область определения. ### Задание 5 Постройте график функции $y = \frac{x^2 - 25}{2x + 10}$. 1. Разложим числитель на множители: $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$. 2. Знаменатель: $2x + 10 = 2(x + 5)$. 3. Функция принимает вид: $y = \frac{(x - 5)(x + 5)}{2(x + 5)}$. 4. Сокращаем на $(x + 5)$, при условии $x \neq -5$. Получаем $y = 0,5x - 2,5$. 5. График — это прямая $y = 0,5x - 2,5$ с "выколотой" точкой при $x = -5$. Если $x = -5$, то $y = 0,5(-5) - 2,5 = -5$. Точка $(-5; -5)$ будет пустой. ### Задание 6 Постройте график уравнения $\frac{9x^2 - y^2 - 2y - 1}{3x + y + 1} = 0$. 1. Заметим, что числитель можно преобразовать: $9x^2 - (y^2 + 2y + 1) = (3x)^2 - (y + 1)^2$. 2. Используем формулу разности квадратов: $(3x - (y + 1))(3x + (y + 1)) = (3x - y - 1)(3x + y + 1)$. 3. Уравнение принимает вид: $\frac{(3x - y - 1)(3x + y + 1)}{3x + y + 1} = 0$. 4. Сокращаем на $(3x + y + 1)$, при условии $3x + y + 1 \neq 0$ (то есть $y \neq -3x - 1$). 5. Получаем уравнение: $3x - y - 1 = 0$, или $y = 3x - 1$. 6. График — это прямая $y = 3x - 1$, из которой нужно исключить точки, лежащие на прямой $y = -3x - 1$ (так как знаменатель не может быть равен нулю). 7. Чтобы найти "выколотую" точку, решим систему: $\begin{cases} y = 3x - 1 \\ y = -3x - 1 \end{cases} \Rightarrow 3x - 1 = -3x - 1 \Rightarrow 6x = 0 \Rightarrow x = 0$. Если $x = 0$, то $y = -1$. Точка $(0; -1)$ будет пустой. :::div .chart-container @chart-1::: :::div .chart-container @chart-2:::