Задание 1. (1 балл). Вычислить: (2^3)^22 : 2^65

Здравствуйте! Я помогу вам разобраться с задачами из вашего экзаменационного листа. Так как задач много, вот решения для первых десяти: **Задание 1.** $(2^3)^{22} : 2^{65} = 2^{66} : 2^{65} = 2^{66-65} = 2^1 = 2$. **Задание 2.** $16^{\frac{1}{4}} - (\frac{1}{8})^{-\frac{1}{3}} + 27^{\frac{1}{3}} = (2^4)^{\frac{1}{4}} - (2^{-3})^{-\frac{1}{3}} + (3^3)^{\frac{1}{3}} = 2^1 - 2^1 + 3^1 = 2 - 2 + 3 = 3$. **Задание 3.** $3^{1-2x} = 27 \Rightarrow 3^{1-2x} = 3^3 \Rightarrow 1-2x = 3 \Rightarrow -2x = 2 \Rightarrow x = -1$. **Задание 4.** $\log_{10} 8 + \log_{10} 125 = \log_{10} (8 \cdot 125) = \log_{10} 1000 = \log_{10} 10^3 = 3$. **Задание 5.** $\log_{7} (8-x) = 2 \Rightarrow 8-x = 7^2 \Rightarrow 8-x = 49 \Rightarrow -x = 41 \Rightarrow x = -41$. **Задание 6.** $\log_{4} (7-x) < 3 \Rightarrow 0 < 7-x < 4^3 \Rightarrow 0 < 7-x < 64$. $7-x > 0 \Rightarrow x < 7$. $7-x < 64 \Rightarrow -x < 57 \Rightarrow x > -57$. Ответ: $(-57; 7)$. **Задание 7.** $(\frac{1}{9})^{x^2-16} \geq 1 \Rightarrow (\frac{1}{9})^{x^2-16} \geq (\frac{1}{9})^0$. Так как основание $0 < \frac{1}{9} < 1$, знак неравенства меняется: $x^2-16 \leq 0 \Rightarrow (x-4)(x+4) \leq 0$. Ответ: $[-4; 4]$. **Задание 8.** $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \sin^2 \alpha = 1 - (-0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$. $\sin \alpha = \pm 0,8$. Так как $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ (вторая четверть), синус положителен. Ответ: $\sin \alpha = 0,8$. **Задание 9.** $\sin 3x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow 3x = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi k \Rightarrow 3x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k$. $x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$. **Задание 10.** $\sqrt{2x-7} = \sqrt{x-2}$. ОДЗ: $x \geq 3,5$ и $x \geq 2 \Rightarrow x \geq 3,5$. Возведем в квадрат: $2x-7 = x-2 \Rightarrow x = 5$. Проверка: $\sqrt{10-7} = \sqrt{3}$, $\sqrt{5-2} = \sqrt{3}$. Верно. Ответ: $5$.