1. Внимательно прочитайте задания, работу выполнять письменно; напишите решения заданий, ответы к ним.

Привет! Давай разберем задания из твоего контрольного материала. ### Решения: **Задание 1.** $(2^3)^2 : 2^6 = 2^{3 \cdot 2} : 2^6 = 2^6 : 2^6 = 1$ **Задание 2.** $16^{1/2} - (1/9)^{-1/2} + 27^{2/3} = \sqrt{16} - \sqrt{9} + (\sqrt[3]{27})^2 = 4 - 3 + 3^2 = 4 - 3 + 9 = 10$ **Задание 3.** $3^{1-2x} = 3^3 \Rightarrow 1-2x=3 \Rightarrow -2x=2 \Rightarrow x=-1$ **Задание 4.** $\log_{10} 8 + \log_{10} 125 = \log_{10}(8 \cdot 125) = \log_{10} 1000 = 3$ **Задание 5.** $\log_{7}(8-x) = 2 \Rightarrow 8-x = 7^2 = 49 \Rightarrow x = 8 - 49 = -41$ **Задание 6.** $\log_{4}(7-x) < 3$. ОДЗ: $7-x > 0 \Rightarrow x < 7$. $7-x < 4^3 = 64 \Rightarrow -x < 57 \Rightarrow x > -57$. Итог: $(-57; 7)$ **Задание 7.** $(8/9)^{x^2-16} \ge 1 = (8/9)^0$. Так как основание $<1$, знак меняется: $x^2-16 \le 0 \Rightarrow (x-4)(x+4) \le 0$. Итог: $[-4; 4]$ **Задание 8.** $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (-0.6)^2 = 1 - 0.36 = 0.64$. Т.к. $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ (II четверть), $\sin \alpha > 0$, значит $\sin \alpha = 0.8$ **Задание 9.** $\sin 3x = \sqrt{2}/2$. $3x = (-1)^k \cdot \pi/4 + \pi k \Rightarrow x = (-1)^k \cdot \pi/12 + \pi k / 3, k \in Z$ **Задание 10.** $\sqrt{2x-7} = \sqrt{x-2}$. ОДЗ: $x \ge 3.5$. Возведем в квадрат: $2x-7 = x-2 \Rightarrow x=5$ (входит в ОДЗ) **Задание 11.** Всего 60, не выучил 3. Выучил $60-3 = 57$. Вероятность $57/60 = 19/20 = 0.95$ **Задание 12.** $f(x) = 5x-x^2, x_0 = 1, y_0 = 4. f'(x) = 5-2x, f'(1) = 3$. Уравнение: $y = 3(x-1) + 4 = 3x + 1$ **Задание 13.** $F(x) = \int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\text{ctg } x + C$. $M(\pi/4; 1) \Rightarrow 1 = -\text{ctg}(\pi/4) + C = -1 + C \Rightarrow C=2$. $F(x) = -\text{ctg } x + 2$ **Задание 14.** $\vec{q} = 4\{2;1;-3\} + 2\{0;-5;-2\} + \{-1;2;0\} = \{8;4;-12\} + \{0;-10;-4\} + \{-1;2;0\} = \{7;-4;-16\}$. Длина: $\sqrt{7^2 + (-4)^2 + (-16)^2} = \sqrt{49+16+256} = \sqrt{321}$ **Задание 15.** $a=12, h=8$. Апофема $l = \sqrt{h^2+(a/2)^2} = \sqrt{64+36} = 10$. $S_{бок} = 2al = 2 \cdot 12 \cdot 10 = 240$. $S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = 240 + 144 = 384$ **Задание 16.** $l=27, \alpha=30^\circ$. $R = l \cos 30^\circ = 27 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 13.5\sqrt{3}$. $H = l \sin 30^\circ = 27 \cdot 0.5 = 13.5$. $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi (13.5^2 \cdot 3) \cdot 13.5 = 182.25 \pi \cdot 13.5 = 2460.375 \pi$ **Задание 17.** $V \propto R^3$. Отношение объемов $(R_1/R_2)^3 = (8/1)^3 = 512$. Больше в 512 раз. **Задание 18.** $\int_{-1}^1 (-7x+5) dx = [-\frac{7x^2}{2} + 5x]_{-1}^1 = (-3.5+5) - (-3.5-5) = 1.5 - (-8.5) = 10$ **Задание 19.** Площадь под параболой $y=x^2-4x$ (ветвями вверх, ниже оси $Ox$): $S_{фиг} = |\int_0^4 (x^2-4x) dx| = |[x^3/3 - 2x^2]_0^4| = |64/3 - 32| = |-32/3| = 32/3$. $3S = 3 \cdot (32/3) = 32$ **Задание 20.** $M(X) = \sum x_i p_i = (-2 \cdot 0.5) + (5 \cdot 0.3) + (6 \cdot 0.1) + (7 \cdot 0.1) = -1 + 1.5 + 0.6 + 0.7 = 1.8$