0. ∫_{sqrt(2)}^{sqrt(3)} xdx / sqrt(x^4 - x^2 - 1)

Для решения интеграла $\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} \frac{x dx}{\sqrt{x^4 - x^2 - 1}}$ сделаем замену переменной. 1. Пусть $t = x^2$, тогда $dt = 2x dx$, откуда $x dx = \frac{1}{2} dt$. 2. Определим новые пределы интегрирования: - если $x = \sqrt{2}$, то $t = (\sqrt{2})^2 = 2$. - если $x = \sqrt{3}$, то $t = (\sqrt{3})^2 = 3$. 3. Подставим всё в исходный интеграл: $\int_{2}^{3} \frac{\frac{1}{2} dt}{\sqrt{t^2 - t - 1}} = \frac{1}{2} \int_{2}^{3} \frac{dt}{\sqrt{t^2 - t - 1}}$. 4. Выделим полный квадрат под корнем: $t^2 - t - 1 = (t^2 - t + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} - 1 = (t - \frac{1}{2})^2 - \frac{5}{4}$. 5. Используем табличный интеграл: $\int \frac{du}{\sqrt{u^2 - a^2}} = \ln|u + \sqrt{u^2 - a^2}| + C$. Здесь $u = t - \frac{1}{2}$ и $a^2 = \frac{5}{4}$ (значит $a = \frac{\sqrt{5}}{2}$). $\frac{1}{2} [\ln|t - \frac{1}{2} + \sqrt{t^2 - t - 1}|]_{2}^{3} =$ $= \frac{1}{2} (\ln|3 - 0.5 + \sqrt{9 - 3 - 1}| - \ln|2 - 0.5 + \sqrt{4 - 2 - 1}|)$ $= \frac{1}{2} (\ln|2.5 + \sqrt{5}| - \ln|1.5 + 1|)$ $= \frac{1}{2} (\ln(\frac{5}{2} + \sqrt{5}) - \ln(\frac{5}{2}))$ $= \frac{1}{2} \ln(\frac{5/2 + \sqrt{5}}{5/2}) = \frac{1}{2} \ln(1 + \frac{2\sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{2} \ln(1 + \frac{2}{\sqrt{5}})$. **Ответ:** $\frac{1}{2} \ln(1 + \frac{2}{\sqrt{5}})$