Вычислить: ∫_{-1}^{2}(x^3 + 3x^2 - 4x)dx

### Решение задачи 1 Вычислим определённый интеграл: $$\int_{-1}^{2} (x^3 + 3x^2 - 4x) \, dx$$ 1. Найдём первообразную функции $f(x) = x^3 + 3x^2 - 4x$: $F(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{3x^3}{3} - \frac{4x^2}{2} = \frac{x^4}{4} + x^3 - 2x^2$ 2. Используем формулу Ньютона-Лейбница $F(b) - F(a)$: $F(2) = \frac{2^4}{4} + 2^3 - 2(2^2) = \frac{16}{4} + 8 - 8 = 4$ $F(-1) = \frac{(-1)^4}{4} + (-1)^3 - 2(-1)^2 = \frac{1}{4} - 1 - 2 = 0.25 - 3 = -2.75$ 3. Вычисляем разность: $4 - (-2.75) = 4 + 2.75 = 6.75$ **Ответ:** 6.75 ### Решение задачи 2 Дано: - $AM = 6$ см — расстояние от точки $M$ до точки касания $A$. - $OM = 10$ см — расстояние от точки $M$ до центра шара $O$. - Радиус шара $OA = R$ перпендикулярен касательной $AM$, значит, треугольник $OAM$ — прямоугольный ($\,\angle OAM = 90^\circ$). 1. По теореме Пифагора для $\triangle OAM$ ($OM$ — гипотенуза): $OA^2 + AM^2 = OM^2$ $R^2 + 6^2 = 10^2$ $R^2 + 36 = 100$ $R^2 = 64$ $R = 8$ (см) 2. Найдём объём шара по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$: $V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 8^3 = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 512 = \frac{2048}{3}\pi \approx 682.67\pi \text{ см}^3$ **Ответ:** $\frac{2048}{3}\pi \text{ см}^3$