Решить уравнение 2sin^2 x - √2 sin x = 0 и найти область определения функции y = √(12 - 4x) - x / ln(x - 3).

8. Решить уравнение: $2\sin^2 x - \sqrt{2}\sin x = 0$. Вынесем общий множитель $\sin x$: $\sin x(2\sin x - \sqrt{2}) = 0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: 1) $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$. 2) $2\sin x - \sqrt{2} = 0 \Rightarrow 2\sin x = \sqrt{2} \Rightarrow \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Корни уравнения $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ Ответ: $x = \pi n; x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n; x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. 9. Найти область определения функции $y = \sqrt{12 - 4x} - \frac{x}{\ln(x - 3)}$. Для нахождения области определения составим систему условий: 1) Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $12 - 4x \ge 0 \Rightarrow 12 \ge 4x \Rightarrow x \le 3$. 2) Выражение под логарифмом должно быть положительным: $x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3$. 3) Знаменатель не должен быть равен нулю: $\ln(x - 3) \neq 0 \Rightarrow x - 3 \neq 1 \Rightarrow x \neq 4$. Объединим условия: $x \le 3$ и $x > 3$. Эти условия противоречат друг другу (нет таких чисел, которые одновременно больше 3 и меньше либо равны 3). Следовательно, область определения — пустое множество. Ответ: Функция не определена ни при каких значениях $x$. Область определения $\emptyset$.