В отряде 17 человек. Сколькими способами можно выбрать (а) старосту и его заместителя; (б) двух дежурных?

Привет! Давай разберем эти задачи по комбинаторике. ### Задача 1 В отряде 17 человек. (а) Выбираем старосту (17 вариантов) и заместителя из оставшихся (16 вариантов). По правилу умножения: $17 \times 16 = 272$. (б) Выбираем двух дежурных. Порядок не важен, используем сочетания из 17 по 2: $C_{17}^2 = \frac{17 \times 16}{2} = 17 \times 8 = 136$. ### Задача 2 Всего 101 далматинец. Обозначим: - $L$ — пятно только на левом ухе (29 далматинцев). - $R_{only}$ — пятно только на правом ухе (17 далматинцев). - $N$ — нет пятен на ушах (22 далматинца). - $B$ — пятна на обоих ушах. Всего далматинцев: $L + R_{only} + N + B = 101$. $29 + 17 + 22 + B = 101 \Rightarrow 68 + B = 101 \Rightarrow B = 33$. Количество далматинцев с пятном на правом ухе — это те, у кого пятно *только* на правом, плюс те, у кого пятна *на обоих* ушах: $17 + 33 = 50$. ### Задача 3 Это классическая задача о «беспорядках» (derangements). Нужно найти количество перестановок 4 элементов, при которых ни один элемент не остается на своем месте. Для $n=4$ формула числа беспорядков $D_n = n! \times \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}$. $D_4 = 24 \times (1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24}) = 24 \times (\frac{12-4+1}{24}) = 9$. ### Задача 4 (а) Сетка $2 \times 2$ имеет 12 отрезков (ребер). Каждая картинка — это подмножество этих ребер. Всего можно выбрать любое подмножество, значит $2^{12} = 4096$ способов выбрать ребра. (б) Картинки, не меняющиеся при повороте на $90^\circ$. Поворот на $90^\circ$ разбивает 12 ребер на 3 орбиты (цикла) по 4 ребра в каждой (внешние стороны, внутренние перекладины). Для инвариантности, все ребра в каждой орбите должны быть либо одновременно включены, либо одновременно выключены. $2^3 = 8$ вариантов. ### Задача 5 Разложить $1024 = 2^{10}$ на три множителя $a, b, c$ ($a \cdot b \cdot c = 2^{10}$), где $a$ кратно $b$, $b$ кратно $c$. Это значит $a = k \cdot b$, $b = m \cdot c$, где $k, m \ge 1$. Тогда $a = k \cdot m \cdot c$. Значит $(k \cdot m \cdot c) \cdot (m \cdot c) \cdot c = 2^{10} \Rightarrow k \cdot m^2 \cdot c^3 = 2^{10}$. Так как все множители — степени двойки, обозначим $c=2^x, m=2^y, k=2^z$. Тогда $z + 3y + 3x = 10$, где $x, y, z \ge 0$. Перебор по $x$: - $x=0 (c=1): z+3y=10$. Возможные $y$: 0 (z=10), 1 (z=7), 2 (z=4), 3 (z=1). (4 варианта). - $x=1 (c=2): z+3y=7$. Возможные $y$: 0 (z=7), 1 (z=4), 2 (z=1). (3 варианта). - $x=2 (c=4): z+3y=4$. Возможные $y$: 0 (z=4), 1 (z=1). (2 варианта). - $x=3 (c=8): z+3y=1$. Возможные $y$: 0 (z=1). (1 вариант). Итого: $4+3+2+1 = 10$ способов. ### Задача 6 Всего семизначных чисел $9 \times 10^6$ (от $1,000,000$ до $9,999,999$). Чисел, в записи которых НЕТ цифры 1: на первом месте 8 вариантов (2-9), на остальных шести местах по 9 вариантов (0, 2-9). Итого $8 \times 9^6 = 4,251,528$. Чисел, в которых ЕСТЬ цифра 1: $9,000,000 - 4,251,528 = 4,748,472$. Вторых больше.