4.230. В прямоугольной трапеции средняя линия равна 13.5. Меньшая диагональ является биссектрисой тупого угла и имеет длину 12. Найти стороны трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, где $\angle A = \angle B = 90^\circ$. Пусть $AD$ — большее основание, $BC$ — меньшее, $AB$ — высота (перпендикулярная основаниям), $CD$ — боковая сторона. Средняя линия $m = \frac{AD+BC}{2} = 13.5$. Отсюда $AD + BC = 27$. Меньшая диагональ — это $AC$ (так как угол $C$ тупой). По условию $AC$ — биссектриса угла $BCD$. Обозначим $\angle BCA = \angle ACD = \alpha$. Так как $AD \parallel BC$, то накрест лежащие углы $\angle CAD = \angle BCA = \alpha$. В треугольнике $ACD$ углы при основании $AC$ равны, значит $\triangle ACD$ — равнобедренный, $AD = CD = x$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$: $\angle B = 90^\circ$. В нем $AC = 12$ (по условию). По теореме Пифагора $AB^2 + BC^2 = AC^2$, то есть $AB^2 + BC^2 = 144$. В прямоугольной трапеции высота $AB$ равна боковой стороне, опущенной перпендикулярно к основаниям. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$. $CH = AB = h$. В прямоугольном $\triangle CHD$: $HD = AD - BC$. Так как $CD = AD = x$ (из равнобедренности), то в прямоугольном треугольнике $CHD$ по теореме Пифагора: $h^2 + (AD-BC)^2 = CD^2 = x^2$. Поскольку $AD+BC=27$, $AD-BC = (AD+BC) - 2BC = 27 - 2BC$. Также $h^2 = AC^2 - BC^2 = 144 - BC^2$. Подставим в уравнение: $(144 - BC^2) + (27 - 2BC)^2 = (27 - BC)^2$ (так как $CD = AD = 27 - BC$). $144 - BC^2 + 729 - 108BC + 4BC^2 = 729 - 54BC + BC^2$. $3BC^2 - 108BC + 144 = -54BC + BC^2$. $2BC^2 - 54BC + 144 = 0$. $BC^2 - 27BC + 72 = 0$. Корни уравнения: $BC = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 288}}{2} = \frac{27 \pm 21}{2}$. $BC_1 = 24$ (не подходит, так как $BC < AD$, а сумма 27), $BC_2 = 3$. Если $BC = 3$, то $AD = 27 - 3 = 24$. Высота $AB = \sqrt{144 - 3^2} = \sqrt{144 - 9} = \sqrt{135} = 3\sqrt{15}$. Боковая сторона $CD = \sqrt{(24-3)^2 + (3\sqrt{15})^2} = \sqrt{21^2 + 135} = \sqrt{441 + 135} = \sqrt{576} = 24$. Ответ: стороны трапеции равны 3, 24, 24 и 3\sqrt{15}.