1. (4 балла) Вычислите: 1) a^3 a^5 / a^2

Привет! Давай разберем задания из твоего варианта. ### Часть 1 **1. Вычислите:** 1) $\frac{a^3 \cdot a^5}{a^2} = \frac{a^8}{a^2} = a^6$ 2) $7^{2 \log_7 3} = 7^{\log_7 3^2} = 7^{\log_7 9} = 9$ 3) $\sqrt{16 \cdot 625} = 4 \cdot 25 = 100$ 4) $2 \operatorname{arctg} \sqrt{3} - 4 \operatorname{arccos} \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \frac{\pi}{3} - 4 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{3} - \pi = -\frac{\pi}{3}$ **2. Решите уравнения:** 1) $\sqrt{3x - 4} = \sqrt{x} \Rightarrow 3x - 4 = x \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$ 2) $2 \cos x = 1 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ 3) $25^{1 - 3x} = \frac{1}{125} \Rightarrow (5^2)^{1 - 3x} = 5^{-3} \Rightarrow 2 - 6x = -3 \Rightarrow -6x = -5 \Rightarrow x = \frac{5}{6}$ 4) $\log_8(2x - 5) = \log_8 3 \Rightarrow 2x - 5 = 3 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4$ **3. Решите неравенство:** 1) $\log_7(x - 1) \ge 0 \Rightarrow x - 1 \ge 1 \Rightarrow x \ge 2$ 2) $(x - 3)(x + 4) < 0 \Rightarrow -4 < x < 3$ 3) $0,5^{x - 3} \le 0,25^x \Rightarrow (0,5)^{x - 3} \le (0,5)^{2x} \Rightarrow x - 3 \ge 2x \Rightarrow -x \ge 3 \Rightarrow x \le -3$ **4. Конус:** 1) Осевое сечение — равнобедренный треугольник $PAC$ (где $AC$ — диаметр основания). 2) Образующая — $PA$ (или $PC$, или любая линия от вершины к окружности основания). 3) Высота — отрезок от вершины $P$ до центра основания $O$ ($PO$). 4) Площадь боковой поверхности $S = \pi r l$. Радиус $r = \frac{d}{2} = 6$ см. $S = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi$ см². **5. Производная функции:** 1) $f'(x) = 2 - 15x^4$ 2) $f'(x) = \frac{3x^2 \cdot \sin x - x^3 \cdot \cos x}{\sin^2 x}$ **6. Первообразная:** 1) $F(x) = -x^4 + 2 \ln|x| + x + C$ 2) $F(x) = -2e^x + \cos x + C$ **7. Задача про телефон:** У Лизы 700 рублей. Каждый день списывается 16 рублей. Номер блокируют, если на счету осталось меньше 16 рублей (то есть при балансе 0, 1...15). Последний день, когда она может пользоваться телефоном — это день, когда баланс станет равен нулю (или меньше 16, что технически то же самое перед блокировкой). Посчитаем: $700 / 16 = 43,75$. Это значит, что на 44-й день (включая сегодняшний) денег на счету уже не хватит для оплаты вечера. Значит, она сможет пользоваться 43 дня полных плюс часть 44-го? Нет, вопрос: сколько дней (включая сегодняшний) она сможет пользоваться? Всего списаний будет 43 (по 16 руб). На 44-й день остаток будет $700 - 43 \cdot 16 = 700 - 688 = 12$ рублей. Так как 12 < 16, на этот (44-й) день телефон заблокируют вечером. Значит, она может пользоваться 43 дня полноценно. ### Часть 2 **8. Пирамида:** В правильной треугольной пирамиде сторона основания $a = 12$, ребро $b = 10$. Апофема боковой грани $h_b = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = 8$. Площадь основания $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{144 \sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$. Площадь боковой поверхности $S_{бок} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 144$. Полная площадь $S = 36\sqrt{3} + 144$. **10. Система уравнений:** $\begin{cases} 5^{x+3y} = 5^{-1} \Rightarrow x + 3y = -1 \\ y + x = 3 \Rightarrow x = 3 - y \end{cases}$ Подставим: $(3 - y) + 3y = -1 \Rightarrow 2y = -4 \Rightarrow y = -2$. $x = 3 - (-2) = 5$. **Ответ: (5; -2).** **11. Площадь фигуры:** $S = \int_0^2 (2x - x^2) dx = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_0^2 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3} \approx 1,33$.