log_7(x+5) = log_7(5x-3)

Привет! Давай решим эти логарифмические уравнения шаг за шагом. 1) $\log_7(x+5) = \log_7(5x-3)$ Так как основания логарифмов равны, приравниваем выражения под логарифмом: $x + 5 = 5x - 3$ $5 + 3 = 5x - x$ $8 = 4x$ $x = 2$ Проверка: $\log_7(2+5) = \log_7(7) = 1$, $\log_7(5 \cdot 2 - 3) = \log_7(7) = 1$. Верно. **Ответ: 2** 2) $\log_{\frac{1}{8}}(4+x) = -2$ По определению логарифма: $4 + x = (\frac{1}{8})^{-2}$ $(\frac{1}{8})^{-2} = (8^{-1})^{-2} = 8^2 = 64$ $4 + x = 64$ $x = 60$ Проверка: $\log_{\frac{1}{8}}(64) = -2$, так как $(\frac{1}{8})^{-2} = 64$. Верно. **Ответ: 60** 3) $\log_{\frac{1}{3}}(x+12) = -2$ $x + 12 = (\frac{1}{3})^{-2}$ $(\frac{1}{3})^{-2} = 3^2 = 9$ $x + 12 = 9$ $x = -3$ Проверка: $\log_{\frac{1}{3}}(-3+12) = \log_{\frac{1}{3}}(9) = -2$. Верно. **Ответ: -3** 4) $\log_{\frac{1}{4}}(2x^2 - 7x - 6) = -2$ $2x^2 - 7x - 6 = (\frac{1}{4})^{-2}$ $(\frac{1}{4})^{-2} = 4^2 = 16$ $2x^2 - 7x - 6 = 16$ $2x^2 - 7x - 22 = 0$ Найдем дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-22) = 49 + 176 = 225 = 15^2$ $x_1 = \frac{7 + 15}{4} = \frac{22}{4} = 5.5$ $x_2 = \frac{7 - 15}{4} = -2$ Проверка: При $x = 5.5$: $2(5.5)^2 - 7(5.5) - 6 = 60.5 - 38.5 - 6 = 16 > 0$ (подходит) При $x = -2$: $2(-2)^2 - 7(-2) - 6 = 8 + 14 - 6 = 16 > 0$ (подходит) **Ответ: -2; 5.5**