Эффективность преобразования энергии из одного вида в другой машиной постоянного тока определяется её КПД

Вот решения задач с вашего листа: 1. Формула КПД: $\eta = \frac{P_2}{P_1} \cdot 100\%$. $\eta = \frac{4.5}{36} \cdot 100\% = 0.125 \cdot 100\% = 12.5\%$. Ответ: 12.5%. 2. $\sin\frac{x}{6} > \frac{\sqrt{3}}{2}$. Пусть $t = \frac{x}{6}$. Тогда $\sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}$. $\frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Подставим обратно $t = \frac{x}{6}$: $\frac{\pi}{3} + 2\pi k < \frac{x}{6} < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$. Умножим на 6: $2\pi + 12\pi k < x < 4\pi + 12\pi k, k \in \mathbb{Z}$. 3. $\lim_{x \to \infty} \frac{x^5 - 14x + 2}{x^6 - 8}$. Разделим числитель и знаменатель на $x^6$: $\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{14}{x^5} + \frac{2}{x^6}}{1 - \frac{8}{x^6}} = \frac{0 - 0 + 0}{1 - 0} = 0$. 4. Закон движения: $x(t) = \frac{1}{4}t^2 + t - 10$. Скорость $v(t) = x'(t) = 0.5t + 1$. Приравняем $v(t) = 5$: $0.5t + 1 = 5 \Rightarrow 0.5t = 4 \Rightarrow t = 8$ сек. 5. Разобьем многогранник на два параллелепипеда. Левая часть (высота 3, ширина 1, глубина 1): Объём $V_1 = 3 \cdot 1 \cdot 1 = 3$. Правая часть (высота 1, ширина 1, глубина 1): Объём $V_2 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$. Общий объем $V = 3 + 1 = 4$. Площадь поверхности: посчитаем сумму площадей всех граней: Передняя: $(3 \cdot 1) + (1 \cdot 1) = 4$. Задняя: такая же (4). Итого 8. Верхние: $(1 \cdot 1) + (1 \cdot 1) = 2$. Нижняя: $2 \cdot 1 = 2$. Боковые (лево-право): $(3 \cdot 1) + (1 \cdot 1) + (1 \cdot 1) + (2 \cdot 1) = 7$. Итого $2 \cdot 7 = 14$. Всего площадь $S = 8 + 2 + 2 + 14 = 26$. 6. Первообразная для $y = \sin(\frac{\pi}{3} - 6x)$: $F(x) = -\frac{1}{-6} \cos(\frac{\pi}{3} - 6x) + C = \frac{1}{6} \cos(\frac{\pi}{3} - 6x) + C$. 7. Площадь $S = \int_{1}^{2} (2x^3 + 1) dx = [\frac{2x^4}{4} + x]_1^2 = [0.5x^4 + x]_1^2$. $S = (0.5 \cdot 16 + 2) - (0.5 \cdot 1 + 1) = (8+2) - 1.5 = 8.5$. 8. $\begin{cases} 2\log_{25}x + \log_5y = 1 \\ -6x + y = 1 \end{cases}$ ОДЗ: $x > 0, y > 0$. Преобразуем первое: $\log_5x + \log_5y = 1 \Rightarrow \log_5(xy) = 1 \Rightarrow xy = 5$. Из второго $y = 6x + 1$. $x(6x + 1) = 5 \Rightarrow 6x^2 + x - 5 = 0$. Корни через дискриминант: $D = 1 - 4(6)(-5) = 121$. $x = \frac{-1 \pm 11}{12}$. $x_1 = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$, $x_2 = -1$ (не подходит по ОДЗ). $y = 6(\frac{5}{6}) + 1 = 6$. Решение: $(\frac{5}{6}; 6)$. 9. $(a - 2)x^2 - 2ax + a + 3 = 0$. Если $a=2$, уравнение $-4x + 5 = 0$ имеет корень $x=1.25$. Это подходит. Если $a \neq 2$, уравнение квадратное, имеет корни при $D \ge 0$. $D = (-2a)^2 - 4(a-2)(a+3) = 4a^2 - 4(a^2 + a - 6) = 4a^2 - 4a^2 - 4a + 24 = 24 - 4a$. $24 - 4a \ge 0 \Rightarrow 4a \le 24 \Rightarrow a \le 6$. Ответ: $a \le 6$. 10. Всего 125, дефектных 5, качественных $125 - 5 = 120$. Вероятность $P = \frac{120}{125} = \frac{24}{25} = 0.96$.