В прямоугольном треугольнике ABC точка M лежит на катете AC, а точка N лежит на продолжении катета BC за точку C, причём NC=AC и MC=BC. Отрезки CP и CQ — биссектрисы треугольников ACB и NCM соответственно.

Давай разберем эту задачу по пунктам. ### Решение: **а) Доказательство перпендикулярности CP и CQ.** 1. Пусть $\angle ACB = 90^\circ$. В треугольнике $ABC$ отрезок $CP$ — биссектриса. Тогда угол между катетом $AC$ и биссектрисой $CP$ равен $\angle ACP = \frac{1}{2} \angle ACB = 45^\circ$. 2. Рассмотрим треугольник $NCM$. У нас есть равенства $NC = AC$ и $MC = BC$. Заметим, что треугольники $ABC$ и $NCM$ имеют равные катеты, расположенные перпендикулярно друг другу (так как $C$ — общая вершина, $AC \perp BC$ и $NC \perp MC$ в силу того, что $N$ лежит на продолжении $BC$, а $M$ на $AC$). 3. Поворот на $90^\circ$ вокруг точки $C$ переводит $\triangle ABC$ в $\triangle CNM$ (так как $CB$ переходит в $CM$, а $CA$ — в $CN$). 4. Значит, биссектриса $CP$ треугольника $ABC$ при повороте на $90^\circ$ перейдет в биссектрису $CQ$ треугольника $NCM$. Если прямая поворачивается на $90^\circ$ и остается биссектрисой, то угол между исходной и повернутой прямой равен $90^\circ$. Следовательно, $CP \perp CQ$. **б) Нахождение PQ.** 1. Мы доказали, что $\triangle PCQ$ — прямоугольный ($90^\circ$) и равнобедренный, так как $CP$ — биссектриса в прямоугольном $\triangle ABC$, а $CQ$ — биссектриса в равном ему $\triangle NCM$. 2. Найдем длины биссектрис. Для прямоугольного треугольника $ABC$ с катетами $AC=15, BC=8$ гипотенуза $AB = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225+64} = \sqrt{289} = 17$. 3. Длина биссектрисы $CP$ прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: $CP = \frac{AC \cdot BC \cdot \sqrt{2}}{AC+BC}$ — это не совсем верно для общего случая, лучше через косинус. Угол $45^\circ$. В $\triangle ACP$: $CP = \frac{AC}{\cos 45^\circ} = \frac{15}{\sqrt{2}/2} = 15\sqrt{2}$. 4. Стоп, биссектриса $CP$ в $\triangle ABC$: $CP = \frac{2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos 45^\circ}{AC+BC} = \frac{2 \cdot 15 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{15+8} = \frac{120\sqrt{2}}{23}$. 5. Так как треугольники равны, $CQ = CP = \frac{120\sqrt{2}}{23}$. 6. В прямоугольном равнобедренном $\triangle PCQ$ гипотенуза $PQ = CP \cdot \sqrt{2} = \frac{120\sqrt{2}}{23} \cdot \sqrt{2} = \frac{120 \cdot 2}{23} = \frac{240}{23}$. **Ответ:** $\frac{240}{23}$.