1. Решить тригонометрическое уравнение: cos x/3 = √3/2. 2. Найти значение производной функции f(x) = 2x^3 - 10x^2 + 1 в точке x_0 = -3. 3. Вычислить определенный интеграл: ∫(3x^3 - 4x + 1)dx от 1 до 3. 4. Найти количество четырехзначных чисел, составленных из цифр 1,2,3,4,5,6,7 при условии, что число не должно оканчиваться цифрами 1, 2 или 3, цифры могут повторяться. 5. В прямоугольном параллелепипеде три измерения равны 7, 6 и 10 см. Найти диагональ параллелепипеда и объем параллелепипеда.

Привет! Давай разберем твой экзаменационный билет по математике. ### 1. Решить тригонометрическое уравнение: $\cos \frac{x}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ Уравнение вида $\cos t = a$ имеет решение $t = \pm \arccos a + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. $\frac{x}{3} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ Умножим все части на 3: $x = \pm \frac{\pi}{2} + 6\pi n, n \in \mathbb{Z}$. **Ответ:** $x = \pm \frac{\pi}{2} + 6\pi n, n \in \mathbb{Z}$. ### 2. Найти значение производной функции $f(x) = 2x^3 - 10x^2 + 1$ в точке $x_0 = -3$ Найдем производную функции: $f'(x) = (2x^3 - 10x^2 + 1)' = 2 \cdot 3x^2 - 10 \cdot 2x + 0 = 6x^2 - 20x$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = -3$: $f'(-3) = 6 \cdot (-3)^2 - 20 \cdot (-3) = 6 \cdot 9 + 60 = 54 + 60 = 114$. **Ответ:** 114. ### 3. Вычислить определенный интеграл: $\int_{1}^{3} (3x^3 - 4x + 1) dx$ Находим первообразную: $F(x) = 3 \cdot \frac{x^4}{4} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + x = \frac{3}{4}x^4 - 2x^2 + x$ Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $F(3) = \frac{3}{4} \cdot 3^4 - 2 \cdot 3^2 + 3 = \frac{3}{4} \cdot 81 - 18 + 3 = 60.75 - 15 = 45.75$ $F(1) = \frac{3}{4} \cdot 1^4 - 2 \cdot 1^2 + 1 = 0.75 - 2 + 1 = -0.25$ Итого: $45.75 - (-0.25) = 46$. **Ответ:** 46. ### 4. Найти количество четырехзначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 при условии, что число не должно оканчиваться цифрами 1, 2 или 3 (цифры могут повторяться) Всего 7 вариантов цифр. Число четырехзначное: _ _ _ _ . На 1-ю, 2-ю и 3-ю позиции можно ставить любую из 7 цифр (повторения разрешены), значит $7^3 = 343$ способа. На 4-ю (последнюю) позицию нельзя ставить цифры 1, 2, 3. Значит, остаются цифры 4, 5, 6, 7 — всего 4 варианта. Всего чисел: $7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 4 = 343 \cdot 4 = 1372$. **Ответ:** 1372. ### 5. В прямоугольном параллелепипеде три измерения равны 7, 6 и 10 см. Найти диагональ параллелепипеда и объем параллелепипеда. Дано: $a = 7$, $b = 6$, $c = 10$. Диагональ $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{7^2 + 6^2 + 10^2} = \sqrt{49 + 36 + 100} = \sqrt{185} \approx 13.6$ см. Объем $V = a \cdot b \cdot c = 7 \cdot 6 \cdot 10 = 420$ см$^3$. **Ответ:** диагональ $\sqrt{185}$ см, объем 420 см$^3$.