1. Решить тригонометрическое уравнение: cos x/3 = √3/2

Привет! Давай разберем твой экзаменационный билет. Вот решения: 1. **Решить тригонометрическое уравнение:** $\cos{\frac{x}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{x}{3} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ Умножим все на 3: $x = \pm \frac{\pi}{2} + 6\pi n, n \in \mathbb{Z}$ 2. **Найти значение производной функции $f(x) = 2x^3 - 10x^2 + 1$ в точке $x_0 = -3$** Находим производную: $f'(x) = (2x^3)' - (10x^2)' + (1)' = 6x^2 - 20x$ Подставляем $x_0 = -3$: $f'(-3) = 6 \cdot (-3)^2 - 20 \cdot (-3) = 6 \cdot 9 + 60 = 54 + 60 = 114$ 3. **Вычислить определенный интеграл:** $\int_{1}^{2} (3x^3 - 4x + 1) dx$ $\int_{1}^{2} (3x^3 - 4x + 1) dx = \left. (\frac{3x^4}{4} - 2x^2 + x) \right|_{1}^{2}$ $= (\frac{3 \cdot 16}{4} - 2 \cdot 4 + 2) - (\frac{3 \cdot 1}{4} - 2 \cdot 1 + 1)$ $= (12 - 8 + 2) - (0.75 - 2 + 1) = 6 - (-0.25) = 6.25$ 4. **Найти количество четырехзначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 при условии, что число должно оканчиваться цифрами 1, 2 или 3, цифры могут повторяться.** Всего 4 позиции для цифр: - На 1-й позиции может быть любая из 7 цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) — 7 вариантов. - На 2-й позиции любая из 7 цифр — 7 вариантов. - На 3-й позиции любая из 7 цифр — 7 вариантов. - На 4-й позиции (последней) только 1, 2 или 3 — 3 варианта. Итого: $7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 3 = 343 \cdot 3 = 1029$ чисел. 5. **В прямоугольном параллелепипеде три измерения равны 7, 8 и 10 см. Найти диагональ параллелепипеда и объем параллелепипеда.** Измерения: $a=7, b=8, c=10$. Объем: $V = a \cdot b \cdot c = 7 \cdot 8 \cdot 10 = 560$ см³. Диагональ $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{7^2 + 8^2 + 10^2} = \sqrt{49 + 64 + 100} = \sqrt{213}$ см.