1. Решите уравнения:

### 1. Решите уравнения: a) $2^{4x} = 8$ $2^{4x} = 2^3$ $4x = 3$ $x = 0,75$ б) $9^{x-5} = 1$ $9^{x-5} = 9^0$ $x - 5 = 0$ $x = 5$ в) $6^{4x^2-2x} = 36$ $6^{4x^2-2x} = 6^2$ $4x^2 - 2x = 2$ $4x^2 - 2x - 2 = 0$ $2x^2 - x - 1 = 0$ Находим дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$ $x_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1$ $x_2 = \frac{1 - 3}{4} = -0,5$ г) $27^x = 5^{3x}$ $(3^3)^x = 5^{3x}$ $3^{3x} = 5^{3x}$ Разделим обе части на $5^{3x}$ (так как $5^{3x} \neq 0$): $\left(\frac{3}{5}\right)^{3x} = 1$ $\left(\frac{3}{5}\right)^{3x} = \left(\frac{3}{5}\right)^0$ $3x = 0$ $x = 0$ ### 2. Решите уравнение: $\left(\frac{4}{25}\right)^{x+2} = \left(\frac{5}{2}\right)^6$ $\left((\frac{2}{5})^2\right)^{x+2} = (\frac{5}{2})^6$ $\left((\frac{5}{2})^{-1}\right)^{2(x+2)} = (\frac{5}{2})^6$ $(\frac{5}{2})^{-2(x+2)} = (\frac{5}{2})^6$ $-2(x+2) = 6$ $-2x - 4 = 6$ $-2x = 10$ $x = -5$ ### 3. Найдите сумму корней уравнения: $2^{2x} - 6 \cdot 2^x + 8 = 0$ Пусть $2^x = t$ ($t > 0$): $t^2 - 6t + 8 = 0$ По теореме Виета: $t_1 = 4, t_2 = 2$ Вернемся к замене: 1) $2^x = 4 \Rightarrow 2^x = 2^2 \Rightarrow x_1 = 2$ 2) $2^x = 2 \Rightarrow 2^x = 2^1 \Rightarrow x_2 = 1$ Сумма корней: $2 + 1 = 3$ ### 4. Решите неравенства: a) $2^x \leq 8$ $2^x \leq 2^3$ $x \leq 3$ б) $0,3^{x+4} \leq 0,3^2$ Так как $0 < 0,3 < 1$, знак неравенства меняется: $x + 4 \geq 2$ $x \geq -2$ ### 5. Найдите наименьшее целое решение неравенства: $3^x + 3^{x+2} > 30$ $3^x + 3^x \cdot 3^2 > 30$ $3^x (1 + 9) > 30$ $3^x \cdot 10 > 30$ $3^x > 3$ $3^x > 3^1$ $x > 1$ Наименьшее целое число больше 1 — это 2. **Ответ: 2**