Задана зависимость между выработкой продукции на одного работника и удельным весом рабочих высокой квалификации: Найти уравнение парной регрессии (х от у и у от х). Оценить тесноту и направление связи с помощью коэффициента корреляции, проверить его значимость. Сделать выводы.

Для решения задачи выполним расчеты шаг за шагом. ### 1. Подготовка данных Найдем средние значения: $\bar{X} = \frac{32+30+36+40+41+47+56+54}{8} = \frac{336}{8} = 42$ $\bar{Y} = \frac{20+26+28+30+31+33+34+37}{8} = \frac{239}{8} = 29.875$ Рассчитаем суммы квадратов и произведений: - $\sum X^2 = 32^2 + 30^2 + 36^2 + 40^2 + 41^2 + 47^2 + 56^2 + 54^2 = 14762$ - $\sum Y^2 = 20^2 + 26^2 + 28^2 + 30^2 + 31^2 + 33^2 + 34^2 + 37^2 = 7335$ - $\sum XY = 32 \cdot 20 + 30 \cdot 26 + 36 \cdot 28 + 40 \cdot 30 + 41 \cdot 31 + 47 \cdot 33 + 56 \cdot 34 + 54 \cdot 37 = 10352$ Вычислим суммы отклонений: - $SS_{xx} = \sum X^2 - n\bar{X}^2 = 14762 - 8 \cdot 42^2 = 650$ - $SS_{yy} = \sum Y^2 - n\bar{Y}^2 = 7335 - 8 \cdot 29.875^2 \approx 194.875$ - $SS_{xy} = \sum XY - n\bar{X}\bar{Y} = 10352 - 8 \cdot 42 \cdot 29.875 = 314$ ### 2. Коэффициент корреляции $r = \frac{SS_{xy}}{\sqrt{SS_{xx} \cdot SS_{yy}}} = \frac{314}{\sqrt{650 \cdot 194.875}} = \frac{314}{355.906} \approx 0.882$ Связь прямая и сильная (близка к 1). ### 3. Уравнения регрессии **Уравнение $Y$ от $X$ ($y = a + bx$):** $b = \frac{SS_{xy}}{SS_{xx}} = \frac{314}{650} \approx 0.483$ $a = \bar{Y} - b\bar{X} = 29.875 - 0.483 \cdot 42 \approx 9.589$ $y = 9.59 + 0.48x$ **Уравнение $X$ от $Y$ ($x = a' + b'y$):** $b' = \frac{SS_{xy}}{SS_{yy}} = \frac{314}{194.875} \approx 1.611$ $a' = \bar{X} - b'\bar{Y} = 42 - 1.611 \cdot 29.875 \approx -6.129$ $x = -6.13 + 1.61y$ ### 4. Значимость и выводы Проверим значимость через $t$-критерий Стьюдента: $t_{расч} = |r| \sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}} = 0.882 \sqrt{\frac{6}{1-0.882^2}} \approx 4.58$ Табличное значение $t_{крит}$ для $\alpha=0.05$ и $df=6$ равно $2.447$. Так как $4.58 > 2.447$, коэффициент корреляции статистически значим. **Ответ:** Связь между выработкой и квалификацией рабочих значимая, положительная, сильная. Уравнения регрессии: $y = 9.59 + 0.48x$ и $x = -6.13 + 1.61y$.