Задания для подготовки к экзамену: 1. Решите уравнение: log3(6x - 2) = 5

1. $\log_3(6x - 2) = 5 \implies 6x - 2 = 3^5 = 243 \implies 6x = 245 \implies x = \frac{245}{6}$. 2. $y = 7 - x + x^2$. Функция — парабола, ветви вверх. Вершина $x_0 = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = 0,5$. Она входит в $[-4; 2]$. Найдем значения на границах и в вершине: $y(0,5) = 7 - 0,5 + 0,25 = 6,75$ $y(-4) = 7 - (-4) + 16 = 27$ $y(2) = 7 - 2 + 4 = 9$. Наибольшее значение 27. 3. $\frac{\sin 2x - 2 \sin x}{(\cos x)^2 - 1} \cdot \frac{\cos x + 1}{\cos x} = \frac{2\sin x \cos x - 2 \sin x}{-\sin^2 x} \cdot \frac{\cos x + 1}{\cos x} = \frac{2 \sin x(\cos x - 1)}{-\sin^2 x} \cdot \frac{\cos x + 1}{\cos x} = \frac{2(1 - \cos x)}{\sin x} \cdot \frac{\cos x + 1}{\cos x} = \frac{2(1 - \cos^2 x)}{\sin x \cos x} = \frac{2 \sin^2 x}{\sin x \cos x} = 2 \tan x$. 4. $4^{5x-1} > (4^3)^{x-1} \implies 5x - 1 > 3x - 3 \implies 2x > -2 \implies x > -1$. 5. Диагональное сечение проходит через диагональ основания и боковое ребро. Пусть стороны $a=6, b=8$. Диагональ основания $d = \sqrt{6^2+8^2} = 10$. Площадь сечения $S = d \cdot h = 10 \cdot 12 = 120$. Ответ: 120 см². 6. $\sqrt{x + 12} = -x$. ОДЗ: $x+12 \ge 0, x \le 0$. Возведем в квадрат: $x+12 = x^2 \implies x^2 - x - 12 = 0$. Корни $x=4$ (не подходит) и $x=-3$. Ответ: -3. 7. $S_{бок} = 2\pi R h = \pi D h = 24\pi$. Дано $D=8$. $8\pi h = 24\pi \implies h = 3$. 8. Знаменатель $\neq 0 \implies x^2 - 81 \neq 0 \implies x \neq \pm 9$. Ответ: $(-\infty; -9) \cup (-9; 9) \cup (9; +\infty)$. 9. $\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - 25/74} = \sqrt{49/74} = 7/\sqrt{74}$. В прямоугольном треугольнике $AC = AB \cos A = \sqrt{74} \cdot \frac{7}{\sqrt{74}} = 7$. 10. $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. 11. $(5^1)^7 \cdot (5^2)^{-3} + (1/2)^{-5} \cdot 2^{-5} = 5^7 \cdot 5^{-6} + 2^5 \cdot 2^{-5} = 5^1 + 1 = 6$. 12. $\frac{\sin x - \cos x}{\cos 2x} \cdot \frac{\cos x + \sin x}{\sin x} = \frac{-(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{(\cos^2 x - \sin^2 x) \sin x} = \frac{-(\cos^2 x - \sin^2 x)}{(\cos^2 x - \sin^2 x) \sin x} = -\frac{1}{\sin x}$. 13. $\sqrt{2x+3} = -x$. ОДЗ: $x \le 0$. Квадрат: $2x+3 = x^2 \implies x^2-2x-3=0$. Корни $x_1 = 3$ (не подходит), $x_2 = -1$. Ответ: -1. 14. $S_{бок} = \pi R L = 30\pi$. $L=6 \implies 6\pi R = 30\pi \implies R = 5$. Ответ: 5. 15. $x^2 - 121 \neq 0 \implies x \neq \pm 11$. Ответ: $(-\infty; -11) \cup (-11; 11) \cup (11; +\infty)$. 16. $\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - 25/67} = \sqrt{42/67}$. Катет $BC = AB \sin A = \sqrt{67} \cdot \sqrt{\frac{42}{67}} = \sqrt{42}$. 17. $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. 18. $(3^1)^{10} \cdot (3^3)^{-3} + (1/5)^{-4} \cdot (5^{-2})^{-2} = 3^{10} \cdot 3^{-9} + 5^4 \cdot 5^4 = 3^1 + 5^8 = 3 + 390625 = 390628$.