15. (1 балл) Вычислите интеграл ∫ (4 + 6x) dx.

Привет! Давай разберем задания из твоего списка по порядку. ### Задание 15 Вычислить $\int (4 + 6x) dx$. По правилам интегрирования: $\int (4 + 6x) dx = 4x + 6 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 4x + 3x^2 + C$. **Ответ: $4x + 3x^2 + C$** ### Задание 16 Решить уравнение $2^{x-2} = 64$. Так как $64 = 2^6$, то: $2^{x-2} = 2^6$ $x - 2 = 6$ $x = 8$ **Ответ: 8** ### Задание 17 Найти производную $f(x) = 6x^2 - 8\sin x - 8x$. Дифференцируем каждое слагаемое: $f'(x) = 6 \cdot 2x - 8\cos x - 8 = 12x - 8\cos x - 8$. **Ответ: $12x - 8\cos x - 8$** ### Задание 18 Решить уравнение $4 \cos x = 1$. $\cos x = \frac{1}{4}$ $x = \pm \arccos(\frac{1}{4}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. **Ответ: $\pm \arccos(\frac{1}{4}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$** ### Задание 19 Решить уравнение $5 \cos^2 x + 6 \sin x - 6 = 0$. Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$: $5(1 - \sin^2 x) + 6 \sin x - 6 = 0$ $5 - 5\sin^2 x + 6 \sin x - 6 = 0$ $-5\sin^2 x + 6 \sin x - 1 = 0$ $5\sin^2 x - 6 \sin x + 1 = 0$ Пусть $t = \sin x$, где $|t| \le 1$: $5t^2 - 6t + 1 = 0$ Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$. $t_1 = \frac{6 + 4}{10} = 1$, $t_2 = \frac{6 - 4}{10} = \frac{2}{10} = 0,2$. 1) $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. 2) $\sin x = 0,2 \Rightarrow x = (-1)^k \arcsin(0,2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. **Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi n; (-1)^k \arcsin(0,2) + \pi k, n, k \in \mathbb{Z}$** ### Задание 20 Объем цилиндра $V = \pi r^2 h$. Так как жидкость перелили, объем остался прежним: $V_1 = \pi r_1^2 h_1 = \pi r_1^2 \cdot 16$. Во втором сосуде $r_2 = 2r_1$, поэтому $V_2 = \pi (2r_1)^2 h_2 = \pi \cdot 4r_1^2 \cdot h_2$. Приравниваем объемы: $16 \pi r_1^2 = 4 \pi r_1^2 h_2$ $16 = 4h_2$ $h_2 = 4$ см. **Ответ: 4 см** ### Задание 21 Решить систему: 1) $x + 2y = 16 \Rightarrow x = 16 - 2y$ 2) $\log_2 y + \log_2 4 = \log_2 (2x + 3)$ $\log_2 (4y) = \log_2 (2x + 3)$ $4y = 2x + 3$ Подставим выражение для $x$: $4y = 2(16 - 2y) + 3$ $4y = 32 - 4y + 3$ $8y = 35$ $y = 4,375$ Тогда $x = 16 - 2(4,375) = 16 - 8,75 = 7,25$. Проверка ОДЗ: $y = 4,375 > 0$, $2x+3 = 2(7,25)+3 = 17,5 > 0$. Корни подходят. **Ответ: $(7,25; 4,375)$** ### Задание 22 Решить уравнение $\sqrt{x^2 - 3x} = 2$. Возведем в квадрат: $x^2 - 3x = 4$ $x^2 - 3x - 4 = 0$ По теореме Виета: $x_1 = 4, x_2 = -1$. Проверка: обе точки подходят под ОДЗ ($x^2 - 3x \ge 0$). **Ответ: -1; 4**