Задание 1. Найдите производную функции:

### Задание 1. Найдите производную функции: а) $f(x) = 5x^4 + x^2 - 7 \Rightarrow f'(x) = 20x^3 + 2x$ б) $f(x) = 6\cos x + 6 \Rightarrow f'(x) = -6\sin x$ в) $f(x) = (x+5)(2x-4) = 2x^2 + 10x - 4x - 20 = 2x^2 + 6x - 20 \Rightarrow f'(x) = 4x + 6$ ### Задание 2. Уравнение касательной $f(x) = 2x^2 - x + 3, x_0 = 1$ $f(1) = 2(1)^2 - 1 + 3 = 4$ $f'(x) = 4x - 1 \Rightarrow f'(1) = 4(1) - 1 = 3$ Уравнение: $y = f(1) + f'(1)(x-1) = 4 + 3(x-1) = 3x + 1$ ### Задание 3. Площадь фигуры $S = \int_1^2 2x^2 dx = [\frac{2x^3}{3}]_1^2 = \frac{2(8)}{3} - \frac{2(1)}{3} = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$ ### Задание 4. Решите уравнения: а) $\text{ctg } x - 1/2 = 0 \Rightarrow \text{ctg } x = 0.5 \Rightarrow x = \text{arcctg } 0.5 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ б) $\log_4 \frac{x+1}{3} = \log_4 \frac{-3x+5}{2} \Rightarrow \frac{x+1}{3} = \frac{-3x+5}{2} \Rightarrow 2(x+1) = 3(-3x+5) \Rightarrow 2x + 2 = -9x + 15 \Rightarrow 11x = 13 \Rightarrow x = \frac{13}{11}$ в) $4^{x^2 - 4x - 2} = 64 \Rightarrow 4^{x^2 - 4x - 2} = 4^3 \Rightarrow x^2 - 4x - 2 = 3 \Rightarrow x^2 - 4x - 5 = 0$. По теореме Виета: $x_1 = 5, x_2 = -1$ ### Задание 5. Решите неравенство: $\frac{2x + 8x^2}{2x-1} < 0 \Rightarrow \frac{2x(1 + 4x)}{2x-1} < 0$ Метод интервалов. Нули: $x = 0, x = -0.25, x = 0.5$. Интервалы: $(-\infty; -0.25) \cup (0; 0.5)$ ### Задание 6. Исследование функции График проходит через $(0;0), (2;2), (3;0), (4;-1), (5;0)$. Область определения $D(f) = [-3; 6]$. Область значений $E(f) = [-1; 2]$. Возрастает на $[-1; 2]$ и $[4; 6]$. Убывает на $[-3; -1]$ и $[2; 4]$. Нули функции: $-2, 3, 5$. ### Задание 7. Площадь поверхности параллелепипеда Площадь полной поверхности $S = 2(S_1 + S_2 + S_3) = 2(4 + 2 + 3) = 2(9) = 18 \text{ см}^2$. ### Задание 8. Высота конуса $r = 3, l = 5$. Высота $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \text{ м}$.