Контрольная работа по теме: Первообразная и интеграл Вариант 1

Привет! Давай разберем твою контрольную работу. Решим задания из Варианта 1. ### Задание 1. Найти первообразную а) $f(x) = 4x^3 - x^{12}$ Первообразная $F(x) = \frac{4x^4}{4} - \frac{x^{13}}{13} + C = x^4 - \frac{x^{13}}{13} + C$ б) $f(x) = -5\sin x + 2$ Первообразная $F(x) = 5\cos x + 2x + C$ ### Задание 2. Найти первообразную для $y = 2x + 9x^2 - 4$, проходящую через $M(-1; 1)$ 1. Общий вид первообразной: $F(x) = x^2 + 3x^3 - 4x + C$ 2. Подставим координаты точки $M(-1; 1)$, чтобы найти $C$: $1 = (-1)^2 + 3(-1)^3 - 4(-1) + C$ $1 = 1 - 3 + 4 + C$ $1 = 2 + C \Rightarrow C = -1$ **Ответ:** $F(x) = 3x^3 + x^2 - 4x - 1$ ### Задание 3. Найти неопределенный интеграл а) $\int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C$ б) $\int (3\cos x + 3x) dx = 3\sin x + \frac{3x^2}{2} + C$ ### Задание 4. Вычислить определенный интеграл а) $\int_{-1}^{2} (-2x) dx = [-x^2]_{-1}^{2} = (-2^2) - (-(-1)^2) = -4 - (-1) = -3$ б) $\int_{0}^{1} (3x - 4) dx = [\frac{3x^2}{2} - 4x]_{0}^{1} = (\frac{3}{2} - 4) - (0) = 1,5 - 4 = -2,5$ ### Задание 5. Вычислить площадь фигуры ($y=x^2, y=0, x=2$) $S = \int_{0}^{2} x^2 dx = [\frac{x^3}{3}]_{0}^{2} = \frac{8}{3} - 0 = 2\frac{2}{3}$ (кв. ед.)