1. В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и AB = AD = CD. Найдите меньший угол треугольника ABC.

1. Пусть $\angle CAD = \angle BAD = x$. Тогда $\angle A = 2x$. Так как $AB = AD$, треугольник $\triangle ABD$ равнобедренный, $\angle ADB = \angle ABD = (180^\circ - 2x) / 2 = 90^\circ - x$. \\ Угол $\angle ADC = 180^\circ - \angle ADB = 180^\circ - (90^\circ - x) = 90^\circ + x$. \\ Так как $AD = CD$, треугольник $\triangle ADC$ равнобедренный, значит $\angle CAD = \angle ACD = x$. \\ Сумма углов $\triangle ADC$: $\angle ADC + \angle CAD + \angle ACD = 180^\circ \implies (90^\circ + x) + x + x = 180^\circ \implies 3x = 90^\circ \implies x = 30^\circ$. \\ Углы треугольника $\triangle ABC$: $\angle A = 2x = 60^\circ$, $\angle C = 30^\circ$, $\angle B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. \\ Меньший угол равен $30^\circ$. **Ответ: 30^\circ** \\ \\ 2. Выражение: $(\vec{a} + \vec{b})(5\vec{a} - \vec{b}) = 5\vec{a}^2 - \vec{a}\vec{b} + 5\vec{a}\vec{b} - \vec{b}^2 = 5|\vec{a}|^2 + 4(\vec{a}\cdot\vec{b}) - |\vec{b}|^2$. \\ Находим значения: \\ $|\vec{a}|^2 = 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10$. \\ $|\vec{b}|^2 = 2^2 + (-6)^2 = 4 + 36 = 40$. \\ $\vec{a}\cdot\vec{b} = 3 \cdot 2 + 1 \cdot (-6) = 6 - 6 = 0$. \\ Подставляем: $5 \cdot 10 + 4 \cdot 0 - 40 = 50 - 40 = 10$. **Ответ: 10** \\ \\ 3. Введем систему координат с началом в точке $O(0,0,0)$. Тогда $S(0,0,13)$, $B(4,0,0)$, $D(-4,0,0)$, $A(0,4,0)$, $C(0,-4,0)$. \\ Точка $M$ (середина $BC$) имеет координаты $(\frac{4+0}{2}, \frac{0-4}{2}, 0) = (2, -2, 0)$. \\ Точка $K$ (середина $CD$) имеет координаты $(\frac{0-4}{2}, \frac{-4+0}{2}, 0) = (-2, -2, 0)$. \\ Плоскость $SMK$ проходит через векторы $\vec{MK} = (-4, 0, 0)$ и $\vec{SM} = (2, -2, -13)$. Нормальный вектор $\vec{n} = \vec{MK} \times \vec{SM} = (0, -52, 8)$, упростим до $(0, 13, -2)$. \\ Угол $\alpha$ между плоскостью $SMK$ и основанием $ABC$ ($z=0$, нормаль $\vec{k}=(0,0,1)$): \\ $\cos \alpha = \frac{|\vec{n}\cdot\vec{k}|}{|\vec{n}|\cdot|\vec{k}|} = \frac{|-2|}{\sqrt{13^2 + (-2)^2} \cdot 1} = \frac{2}{\sqrt{173}}$. \\ $\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \frac{4}{173}} = \frac{13}{\sqrt{173}}$. \\ $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{13}{2} = 6,5$. **Ответ: 6,5** \\ \\ 4. Вероятность победы $P(W) = 0,4$, проигрыша $P(L) = 0,4$, ничьей $P(D) = 1 - (0,4 + 0,4) = 0,2$. \\ Чтобы набрать 4 очка в 2 играх (при схеме 3, 1, 0), возможны комбинации: (3, 3), (3, 1), (1, 3). \\ $P(4+) = P(W) \cdot P(W) + P(W) \cdot P(D) + P(D) \cdot P(W) = 0,4 \cdot 0,4 + 0,4 \cdot 0,2 + 0,2 \cdot 0,4 = 0,16 + 0,08 + 0,08 = 0,32$. **Ответ: 0,32**