4.256. (Т) Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, относится к радиусу вписанной в него окружности как 5:2. Найти площадь треугольника, если один из его катетов равен 1.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза $c$. По условию один из катетов $a = 1$. 1. Радиус описанной окружности $R$ прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы: $R = \frac{c}{2} = \frac{\sqrt{1^2 + b^2}}{2} = \frac{\sqrt{1 + b^2}}{2}$. 2. Радиус вписанной окружности $r$ прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: $r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{1+b-\sqrt{1+b^2}}{2}$. 3. По условию отношение $R:r = 5:2$, то есть $\frac{R}{r} = \frac{5}{2}$. 4. Подставим выражения: $\frac{\frac{\sqrt{1+b^2}}{2}}{\frac{1+b-\sqrt{1+b^2}}{2}} = \frac{\sqrt{1+b^2}}{1+b-\sqrt{1+b^2}} = \frac{5}{2}$. Раскроем пропорцию: $2\sqrt{1+b^2} = 5(1+b - \sqrt{1+b^2})$ $2\sqrt{1+b^2} = 5 + 5b - 5\sqrt{1+b^2}$ $7\sqrt{1+b^2} = 5 + 5b$ Возведем обе части в квадрат: $49(1 + b^2) = (5 + 5b)^2$ $49 + 49b^2 = 25 + 50b + 25b^2$ $24b^2 - 50b + 24 = 0$ Разделим на 2: $12b^2 - 25b + 12 = 0$ Решим квадратное уравнение: $D = (-25)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 12 = 625 - 576 = 49$ $b_{1,2} = \frac{25 \pm 7}{24}$ $b_1 = \frac{32}{24} = \frac{4}{3}$, $b_2 = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$. 5. Площадь треугольника $S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot b = \frac{b}{2}$. Если $b = \frac{4}{3}$, то $S = \frac{4/3}{2} = \frac{2}{3}$. Если $b = \frac{3}{4}$, то $S = \frac{3/4}{2} = \frac{3}{8}$. **Ответ:** $\frac{2}{3}$ или $\frac{3}{8}$.