Функция f(x) = x^(2/3). Исследуйте её на дифференцируемость в точке x=0. Выберите правильный анализ.

Правильный ответ: **a**. Давай разберем, почему это так: 1. **Непрерывность:** Функция $f(x) = x^{2/3} = \sqrt[3]{x^2}$ определена в точке $x=0$, и $\lim_{x \to 0} x^{2/3} = 0 = f(0)$. Значит, функция непрерывна в этой точке. 2. **Производная:** Чтобы проверить дифференцируемость в точке $x=0$, найдем предел отношения приращения функции к приращению аргумента: $$f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(\Delta x)^{2/3} - 0}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(\Delta x)^{2/3}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{(\Delta x)^{1/3}}$$ 3. **Вывод:** При $\Delta x \to 0$ знаменатель $(\Delta x)^{1/3}$ стремится к 0, поэтому предел равен $\infty$. Так как производная не является конечным числом, функция не является дифференцируемой в точке $x=0$. Графически это означает, что в точке $x=0$ у графика функции есть «острие» (вертикальная касательная). Поэтому утверждение **a** верно описывает поведение функции.