Вычислить интеграл $\int_a^b \sin x \, dx$ как предел соответствующей интегральной суммы.

Для вычисления определенного интеграла $\int_a^b \sin x \, dx$ через предел интегральной суммы Римана, воспользуемся определением: $$\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x$$ Где: 1. Отрезок $[a, b]$ разбивается на $n$ равных частей: $\Delta x = \frac{b-a}{n}$. 2. Точки разбиения: $x_i = a + i \cdot \Delta x$. Применим это к функции $f(x) = \sin x$: $$\sum_{i=1}^n \sin(x_i) \Delta x = \Delta x \sum_{i=1}^n \sin(a + i \Delta x)$$ Для вычисления суммы синусов используем формулу произведения суммы углов в прогрессии: $$\sum_{k=1}^n \sin(a + k \Delta x) = \frac{\sin(\frac{n \Delta x}{2})}{\sin(\frac{\Delta x}{2})} \sin\left(a + \frac{(n+1)\Delta x}{2}\right)$$ Так как $\Delta x = \frac{b-a}{n}$, то $n \Delta x = b-a$. При $n \to \infty$, $\Delta x \to 0$, тогда $\sin(\frac{\Delta x}{2}) \approx \frac{\Delta x}{2}$. $$\lim_{n \to \infty} \left[ \frac{b-a}{n} \cdot \frac{\sin(\frac{b-a}{2})}{\frac{\Delta x}{2}} \cdot \sin\left(a + \frac{(n+1)\Delta x}{2}\right) \right]$$ Так как $\Delta x = \frac{b-a}{n}$, то $\frac{\Delta x}{2} = \frac{b-a}{2n}$: $$\lim_{n \to \infty} 2 \sin\left(\frac{b-a}{2}\right) \sin\left(a + \frac{b-a}{2}\right) = -(\cos b - \cos a) = \cos a - \cos b$$ Графическая интерпретация представляет собой площадь под кривой $y = \sin x$ на интервале $[a, b]$, разбитую на прямоугольники шириной $\Delta x$. :::div .chart-container @chart-1:::