В треугольнике ABC AC = BC = 50, AH — высота, cos BAC = 1/5. Найдите BH.

Question

Вопрос:

В треугольнике ABC AC = BC = 50, AH — высота, cos BAC = 1/5. Найдите BH.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

1. Треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AB$, так как $AC = BC = 50$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, $\angle BAC = \angle ABC$. 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB$, где $AH$ — высота, опущенная на сторону $BC$. $\angle AHB = 90^\circ$. 3. В этом прямоугольном треугольнике нам известен косинус угла $B$ (он же $\angle ABC$): $\cos \angle ABC = \cos \angle BAC = \frac{1}{5}$. 4. По определению косинуса в прямоугольном треугольнике $AHB$: $\cos \angle ABC = \frac{BH}{AB}$. 5. Сначала найдем $AB$. Проведем высоту $CK$ к основанию $AB$. Она же является медианой, поэтому $AK = KB$. В треугольнике $ACK$ (прямоугольный): $\cos \angle A = \frac{AK}{AC} = \frac{1}{5}$. $AK = AC \cdot \frac{1}{5} = 50 \cdot \frac{1}{5} = 10$. $AB = 2 \cdot AK = 20$. 6. Теперь вернемся в треугольник $AHB$: $\frac{BH}{AB} = \frac{1}{5}$ $\frac{BH}{20} = \frac{1}{5}$ $BH = 20 \cdot \frac{1}{5} = 4$. **Ответ: 4.**

В треугольнике ABC AC = BC = 50, AH — высота, cos BAC = 1/5. Найдите BH.

Ответ ассистента

Другие решения