1. Дано: BO = DO, ∠ABC = 45°, ∠BCD = 55°, ∠AOC = 100° (рис. 5.89). Найти: ∠D. Доказать: ΔABO = ΔCDO.

Привет! Давай разберем эти задачи по геометрии. ### Задача 1 **Дано:** $BO = DO$, $\angle ABC = 45^\circ$, $\angle BCD = 55^\circ$, $\angle AOC = 100^\circ$ (рис. 5.89). **Найти:** $\angle D$. **Доказать:** $\triangle ABO = \triangle CDO$. *Решение:* 1. В треугольниках $ABO$ и $CDO$ имеем: - $BO = DO$ (по условию); - $\angle AOB = \angle COD$ как вертикальные; - Но для равенства $\triangle ABO = \triangle CDO$ по двум сторонам и углу между ними ($SAS$) или другим признакам недостаточно данных из условия. В условии сказано доказать $\triangle ABO = \triangle CDO$, но $\angle AOC = 100^\circ$ — это развернутый угол или часть его, по рисунку $\angle AOC$ — это угол, образованный пересечением $AC$ и $BD$. - *Примечание:* Условие задачи выглядит неполным или некорректным, так как для доказательства равенства треугольников не хватает данных об углах или сторонах ($AO$ и $CO$). ### Задача 2 **Дано:** $\triangle ABC$ — равнобедренный, основание $AC$, $\angle B = 42^\circ$. **Найти:** два других угла. *Решение:* Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны: $\angle A = \angle C$. Сумма углов треугольника $180^\circ$. $\angle A + \angle C = 180^\circ - 42^\circ = 138^\circ$. $\angle A = \angle C = 138^\circ / 2 = 69^\circ$. **Ответ:** $69^\circ$, $69^\circ$. ### Задача 3 **Дано:** $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ — равносторонние. Точки $B$ и $D$ по разные стороны от $AC$. **Доказать:** $AB \parallel CD$. *Решение:* 1. В $\triangle ABC$ (равносторонний) $\angle BAC = 60^\circ$. 2. В $\triangle ADC$ (равносторонний) $\angle ACD = 60^\circ$. 3. Углы $\angle BAC$ и $\angle ACD$ являются накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. 4. Так как они равны ($60^\circ = 60^\circ$), то по признаку параллельности прямых $AB \parallel CD$. ### Задача 4 **Дано:** $\triangle EPM$ ($P=90^\circ$), $\angle MEP = 30^\circ$, $ME = 10$ см. **а)** $\angle M = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы: $MP = ME / 2 = 5$ см. По теореме Пифагора: $EP^2 = ME^2 - MP^2 = 100 - 25 = 75$. $EP = \sqrt{75} \approx 8.66$ см. Число заключено между **8 и 9**. **б)** Медиана $PD$ из прямого угла равна половине гипотенузы: $PD = ME / 2 = 5$ см. **Ответ:** а) 8 и 9; б) 5 см.