1. Дано: BO = DO, ∠ABC = 45°, ∠BCD = 55°, ∠AOC = 100° (рис. 5.89). Найти: ∠D. Доказать: ΔABO = ΔCDO.

Привет! С удовольствием помогу тебе разобраться с геометрией. Вот решения твоих задач: ### Задача 1 **Доказательство:** 1. В треугольниках $ABO$ и $CDO$: $BO = DO$ (по условию), $AO = CO$ (по условию, так как $AOC$ — прямая, проходящая через $O$, если $O$ — середина $AC$ или из равенства треугольников), $\angle AOB = \angle COD$ (вертикальные). 2. Следовательно, $\triangle ABO = \triangle CDO$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). 3. Из равенства треугольников следует равенство углов $\angle D = \angle B = 45^\circ$. **Ответ:** $\angle D = 45^\circ$. ### Задача 2 В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC$, значит углы при основании равны: $\angle A = \angle C$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Известно, что $\angle B = 42^\circ$. Тогда $\angle A = \angle C = (180^\circ - 42^\circ) / 2 = 138^\circ / 2 = 69^\circ$. **Ответ:** $\angle A = 69^\circ, \angle C = 69^\circ$. ### Задача 3 1. Треугольники $ABC$ и $ADC$ — равносторонние. Значит, $\angle BAC = 60^\circ$ и $\angle DAC = 60^\circ$ (или $\angle DCA = 60^\circ$). 2. Так как точки $B$ и $D$ лежат в разных полуплоскостях, углы $\angle BAC$ и $\angle DCA$ являются внутренними накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. 3. Так как $\angle BAC = \angle DCA = 60^\circ$, то по признаку параллельности прямых $AB \parallel CD$. ### Задача 4 Дано: прямоугольный $\triangle EPM$, $\angle EPM = 90^\circ$, $\angle MER = 30^\circ$ (вероятно, имелось в виду $\angle M = 30^\circ$, так как $\angle MEP$ — угол при вершине $E$), $ME = 10$. а) $EP = ME \cdot \sin(60^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8.66$. Значит, длина $EP$ заключена между целыми числами 8 и 9. б) Медиана $PD$ в прямоугольном треугольнике к гипотенузе равна половине гипотенузы. $PD = ME / 2 = 5$ см. **Ответ:** а) 8 и 9; б) 5 см.