1. Моторная лодка путь по течению от одной пристани до другой проходит за 4 ч, а обратный путь за 5 ч. Какова скорость лодки в стоячей воде, если 70 км по течению она проходит за 3,5 ч?

1. Сначала найдем скорость лодки по течению реки. Для этого разделим расстояние на время: 70 км / 3,5 ч = 20 км/ч (скорость по течению). Пусть $v$ — скорость лодки в стоячей воде, а $u$ — скорость течения. Тогда $v + u = 20$ км/ч. Из условия задачи известно, что путь по течению лодка проходит за 4 ч, а против течения — за 5 ч. Пусть расстояние между пристанями равно $S$. Тогда: $S = (v + u) \cdot 4 = 20 \cdot 4 = 80$ км. Скорость против течения: $v - u = 80 / 5 = 16$ км/ч. Теперь составим систему уравнений: $ \begin{cases} v + u = 20 \\ v - u = 16 \end{cases} $ Сложим эти уравнения: $2v = 36$, откуда $v = 18$ км/ч. Ответ: 18 км/ч. 2. Пусть $v$ — скорость лодки, $u$ — скорость течения (в км/ч). Скорость по течению $v+u$, против течения $v-u$. Первая ситуация: путь 12 км туда и обратно занял 2,5 часа. Расстояние в одну сторону равно 6 км (так как 12/2 = 6, но здесь важно, что общее расстояние туда и обратно 12 км, значит путь в одну сторону 6 км). Время по течению: $6 / (v + u)$. Время против течения: $6 / (v - u)$. $ \frac{6}{v+u} + \frac{6}{v-u} = 2,5 $ Вторая ситуация: 4 км по течению и 8 км против течения за 1 ч 20 мин ($1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ ч). $ \frac{4}{v+u} + \frac{8}{v-u} = \frac{4}{3} $ Обозначим $x = \frac{1}{v+u}$ и $y = \frac{1}{v-u}$. Получим систему: $ \begin{cases} 6x + 6y = 2,5 \\ 4x + 8y = \frac{4}{3} \end{cases} $ Разделим первое уравнение на 6, получим $x + y = 2,5/6 = 5/12$. Тогда $x = 5/12 - y$. Подставим во второе: $4(5/12 - y) + 8y = 4/3 \Rightarrow 20/12 - 4y + 8y = 4/3 \Rightarrow 5/3 + 4y = 4/3 \Rightarrow 4y = 4/3 - 5/3 \Rightarrow 4y = -1/3$. Проверка условия задачи (вероятно, опечатка в условии исходника, так как скорость не может быть отрицательной при такой постановке). Предположим стандартную логику: если лодка прошла 12 км (туда и обратно), то общее время 2,5 ч. Уравнение $\frac{6}{v+u} + \frac{6}{v-u} = 2,5$ корректно. Возможно, $4x+8y=4/3$ неверно истолковано. Если $12$ км — это суммарный путь (6 туда, 6 обратно), тогда $v=5, u=1$. Проверим: $6/6 + 6/4 = 1 + 1,5 = 2,5$ (верно). Проверим второе условие: $4/(5+1) + 8/(5-1) = 4/6 + 8/4 = 2/3 + 2 = 2\frac{2}{3}$ ч (это 2 ч 40 мин). Если в условии "1 ч 20 мин" — значит, скорость лодки и течения другие. Примем $v=7, u=1$: $6/8 + 6/6 = 0,75 + 1 = 1,75$ (не 2,5). Решение системы $x=1/10, y=1/6$ дает $v+u=10, v-u=6$, откуда $v=8, u=2$. Проверим: $6/10 + 6/6 = 0,6 + 1 = 1,6$ (не 2,5). При данных числах задача не имеет целочисленного решения без опечаток в условии. Принимая $v=8, u=2$ для второй части: $4/10 + 8/6 = 0,4 + 1,33 = 1,73$ ч. Ответ: задача содержит опечатку в исходных данных, решение требует уточнения условий.