15. AD = CD. 16. M - точка на стороне AB треугольника ABC.

Решение задачи 16: Дано: $\triangle ABC$ — равнобедренный ($CB = CM$ — это следует из чертежа, так как стороны отмечены равными черточками). $MN \perp AC$ (так как есть значок прямого угла). $\angle A = 35^\circ$. 1. Рассмотрим $\triangle AMN$: Это прямоугольный треугольник. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Значит, $\angle AMN = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$. 2. Так как $CM = CB$ (по условию задачи, стороны треугольника $BCM$ равны), то $\triangle BCM$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. 3. Однако, из чертежа видно, что $BC = MC$. Треугольник $BCM$ является равнобедренным. В $\triangle AMC$ сторона $MC = BC$, а $AC$ — общая. Угол $C$ в треугольнике $AMC$ равен $\angle C = 180^\circ - (\angle MAC + \angle AMC)$. 4. По свойствам углов: так как $\triangle CBM$ равнобедренный, то $\angle CBM = \angle CMB$. Внешний угол треугольника $ACM$ при вершине $M$ равен $\angle BMA = 180^\circ$. Угол $\angle AMC = 180^\circ - \angle CMB - \angle BMA$ не совсем корректно, давайте проще: В $\triangle AMC$ угол $C$ можно найти, если знать остальные. Из рисунка видно, что $\triangle CBM$ равнобедренный с основанием $BM$. Пусть $\angle B = \angle CMB = x$. Тогда внешний угол $\angle AMC = 180 - x$. В $\triangle AMN$: $\angle AMN = 55^\circ$. Скорее всего, требуется найти угол $\angle C$. $\triangle MNC = \triangle MNA$ (по катету и общему катету/гипотенузе, если бы $CM=MA$, но это не сказано). Вернемся к задаче 15 (условие: $AD = CD, \angle CDB = 100^\circ, \angle CAD = \angle BAD$): 1. $\angle BDC = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$ (как смежный к $\angle BDA$). 2. В $\triangle ADC$: так как $AD=CD$, он равнобедренный. Значит, $\angle CAD = \angle ACD = (180^\circ - 80^\circ) / 2 = 100^\circ / 2 = 50^\circ$. 3. Так как $AB$ — биссектриса, то $\angle BAC = \angle CAD = 50^\circ$. 4. В $\triangle ABC$: $\angle B = 180^\circ - (50^\circ + 50^\circ) = 80^\circ$.