Даны равнобедренный прямоугольный треугольник KLC с прямым углом C, катетом KC = 10 см и квадрат CDEF, такой, что две его стороны лежат на катетах, а вершина E – на гипотенузе треугольника. Найдите периметр квадрата.

Пусть сторона квадрата $CDEF$ равна $x$. 1. Так как $C$ — прямой угол, а квадрат $CDEF$ вписан так, что его стороны лежат на катетах $KC$ и $LC$, то вершины квадрата $C, D, F$ лежат на катетах. 2. Стороны квадрата $CD$ и $CF$ лежат на катетах. Так как $KC = 10$, а треугольник $KLC$ — равнобедренный прямоугольный, то $LC = KC = 10$. Вершины $D$ и $F$ лежат на $KC$ и $LC$ соответственно. 3. Сторона квадрата $DE$ параллельна $CF$ (катету $LC$), а сторона $FE$ параллельна $CD$ (катету $KC$). 4. Треугольник $KFE$ (где $FE$ лежит на гипотенузе) отсекает подобный исходному равнобедренный треугольник. 5. Расстояние от вершины $C$ до гипотенузы можно выразить через сторону квадрата. Так как треугольник $KLC$ равнобедренный прямоугольный, углы при гипотенузе равны $45^\circ$. 6. Стороны квадрата делят катеты. Поскольку $\triangle LFE$ — также равнобедренный прямоугольный (так как $FE \parallel KC$), то $LF = FE = x$. 7. Аналогично, $KD = KC - CD = 10 - x$. В $\triangle KDE$ угол $K = 45^\circ$, значит $KD = DE = x$, следовательно $10 - x = x$, откуда $2x = 10$, $x = 5$. 8. Периметр квадрата $P_{CDEF} = 4 \cdot x = 4 \cdot 5 = 20$. **Ответ: 20**