2.1. Значения каких из приведённых выражений равны 25?

### Решение заданий **2.1. Значения каких из приведённых выражений равны 25?** 1) $(5^{-2})^{-1} = 5^{(-2) \cdot (-1)} = 5^2 = 25$ (Верно) 2) $5^7 \cdot 5^{-5} = 5^{7+(-5)} = 5^2 = 25$ (Верно) 3) $5^{-7} \cdot 5^5 = 5^{-7+5} = 5^{-2} = \frac{1}{25}$ (Неверно) 4) $\frac{1}{5^7} \cdot \frac{1}{5^{-5}} = 5^{-7} \cdot 5^5 = 5^{-2} = \frac{1}{25}$ (Неверно) **Ответ: 1, 2** **2.2. Какие из указанных выражений равны $\frac{a^8}{b}$ при $a \neq 0, b \neq 0$?** 1) $(\frac{a^2}{b})^3 \cdot (\frac{a}{b})^{-1} = \frac{a^6}{b^3} \cdot \frac{b}{a} = a^5 \cdot b^{-2} = \frac{a^5}{b^2}$ (Неверно) 2) $(\frac{a}{b})^{-7} \cdot (\frac{a^2}{b})^7 \cdot ab = (\frac{b}{a})^7 \cdot \frac{a^{14}}{b^7} \cdot ab = \frac{b^7}{a^7} \cdot \frac{a^{14}}{b^7} \cdot ab = a^7 \cdot ab = a^8b$ (Неверно) 3) $(\frac{b}{a})^{-5} \cdot a \cdot (\frac{a}{b})^8 = (\frac{a}{b})^5 \cdot a \cdot (\frac{a}{b})^8 = (\frac{a}{b})^{13} \cdot a = \frac{a^{14}}{b^{13}}$ (Неверно) 4) $(\frac{b^2}{a})^2 \cdot (\frac{a}{b})^{10} \cdot (b^{-1})^{-5} = \frac{b^4}{a^2} \cdot \frac{a^{10}}{b^{10}} \cdot b^5 = \frac{a^{10}}{a^2} \cdot \frac{b^4 \cdot b^5}{b^{10}} = a^8 \cdot \frac{b^9}{b^{10}} = a^8 \cdot b^{-1} = \frac{a^8}{b}$ (Верно) **Ответ: 4** **2.3. При каких из указанных значений $a$ и $b$ верно неравенство $a < b$?** 1) $a = (\frac{1}{5})^{-1} = 5$, $b = (\frac{1}{6})^{-1} = 6$. Так как $5 < 6$, неравенство верно. (Верно) 2) $a = (\frac{3}{5})^{-5}$, $b = (\frac{3}{5})^{-5}$. Значения равны. (Неверно) 3) $a = (\frac{4}{3})^5$, $b = (\frac{4}{3})^5$. Значения равны. (Неверно) 4) $a = (\frac{2}{3})^{-5} = (1.5)^5 \approx 7.6$, $b = (\frac{2}{3})^5 \approx 0.13$. $a > b$. (Неверно) **Ответ: 1** **2.4. Какие из указанных выражений равны $a^{-2} \cdot b^3$ при $a \neq 0, b \neq 0$?** 1) $(\frac{a}{b})^{14} \cdot (\frac{a}{b})^{-12} \cdot (\frac{a}{b})^{-4} \cdot b = (\frac{a}{b})^{14-12-4} \cdot b = (\frac{a}{b})^{-2} \cdot b = (\frac{b}{a})^2 \cdot b = \frac{b^2}{a^2} \cdot b = \frac{b^3}{a^2} = a^{-2}b^3$ (Верно) 2) $(\frac{a}{b})^3 \cdot (\frac{b}{a})^{-5} \cdot (\frac{a}{b})^0 \cdot b^{11} = (\frac{a}{b})^3 \cdot (\frac{a}{b})^5 \cdot 1 \cdot b^{11} = (\frac{a}{b})^8 \cdot b^{11} = \frac{a^8}{b^8} \cdot b^{11} = a^8b^3$ (Неверно) 3) $(\frac{a}{b}) \cdot (\frac{b}{a})^8 \cdot (\frac{b}{a})^{12} \cdot a = (\frac{a}{b}) \cdot (\frac{b}{a})^{20} \cdot a = \frac{a}{b} \cdot \frac{b^{20}}{a^{20}} \cdot a = \frac{b^{19}}{a^{18}}$ (Неверно) 4) $(\frac{b}{a})^7 \cdot (\frac{b}{a})^{-8} \cdot (\frac{b}{a})^{-2} \cdot b = (\frac{b}{a})^{7-8-2} \cdot b = (\frac{b}{a})^{-3} \cdot b = (\frac{a}{b})^3 \cdot b = \frac{a^3}{b^3} \cdot b = \frac{a^3}{b^2}$ (Неверно) **Ответ: 1**