1. В выпуклом шестиугольнике ABCDEF все стороны равны, ∠A = ∠D. Докажите, что BF || CE. 2. Дан параллелограмм ABCD. На продолжении диагонали AC за вершины A и C отмечены точки A1 и C1 соответственно так, что AA1 = CC1. Докажите, что ∠BA1D = ∠BC1D.

Решение заданий из блока C-3: 1. В выпуклом шестиугольнике $ABCDEF$ все стороны равны ($AB = BC = CD = DE = EF = FA$). Условие $\angle A = \angle D$ в равностороннем шестиугольнике обеспечивает центральную симметрию фигуры относительно центра $O$. При повороте на $180^{\circ}$ вокруг центра $O$ вершина $B$ отображается в $E$, а $F$ — в $C$. Так как при повороте прямые переходят в параллельные себе прямые, то отрезок $BF$ параллелен отрезку $CE$ ($BF \parallel CE$). 2. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$. Она является центром симметрии. По условию $AA_1 = CC_1$, где точки $A_1$ и $C_1$ лежат на продолжении диагонали $AC$. Так как $OA = OC$ (свойство диагоналей параллелограмма), то расстояния от центра $O$ до $A_1$ и $C_1$ равны: $OA_1 = OA + AA_1$ и $OC_1 = OC + CC_1$. Значит, $OA_1 = OC_1$, и точки $A_1$ и $C_1$ симметричны относительно $O$. При повороте на $180^{\circ}$ вокруг $O$ точка $B$ переходит в $D$, точка $D$ в $B$, а $A_1$ в $C_1$. Таким образом, $\triangle BA_1D$ переходит в $\triangle DC_1B$. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle BA_1D = \angle BC_1D$.