Question

Существует ли куб, у которого выражаются простыми числами ребро и: а) сумма всех рёбер; б) площадь поверхности?

Accepted Answer

Решение задания 2.72

Пусть $a$ — длина ребра куба. По условию, $a$ — простое число. У куба 12 ребер, а площадь поверхности состоит из 6 граней, каждая площадью $a^2$.

а) Сумма всех рёбер равна $12a$. Так как $a \ge 2$ (наименьшее простое число), то $12a$ делится на 1, 2, 3, 4, 6, 12 и $a$. Следовательно, это число всегда составное.
Ответ: Нет, такого куба не существует.

б) Площадь поверхности равна $6a^2$. Это число делится на 1, 2, 3, 6, $a$ и $a^2$. Следовательно, это число всегда составное.
Ответ: Нет, такого куба не существует.

Решение задания 2.73

а) Разложим числа на простые множители:
- $525 = 5 \cdot 105 = 5 \cdot 5 \cdot 21 = 3 \cdot 5^2 \cdot 7$
- $2310 = 10 \cdot 231 = 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 77 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11$
- $3750 = 10 \cdot 375 = 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 75 = 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 25 = 2 \cdot 3 \cdot 5^4$

б) Разложим числа на простые множители:
- $1029 = 3 \cdot 343 = 3 \cdot 7^3$
- $9375 = 5 \cdot 1875 = 5 \cdot 5 \cdot 375 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 75 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 25 = 3 \cdot 5^5$
- $19683 = 3 \cdot 6561 = 3 \cdot 3^8 = 3^9$

Существует ли куб, у которого выражаются простыми числами ребро и: а) сумма всех рёбер; б) площадь поверхности?

Ответ ассистента

Другие решения