Решите уравнение. 1. а) 3 / 7x = 7x / 3

Для решения дробно-рациональных уравнений будем использовать правило пропорции или приведение к общему знаменателю, учитывая область допустимых значений (ОДЗ). 1. а) $\frac{3}{7x} = \frac{7x}{3}$. ОДЗ: $x \neq 0$. Перемножаем крест-накрест: $9 = 49x^2$, $x^2 = \frac{9}{49}$, $x = \pm \frac{3}{7}$. 1. б) $\frac{8}{5z} = \frac{5z}{8}$. ОДЗ: $z \neq 0$. $64 = 25z^2$, $z^2 = \frac{64}{25}$, $z = \pm \frac{8}{5} = \pm 1,6$. 2. а) $x^2 = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$. ОДЗ: $x \neq 2$. Заметим, что $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$. Тогда $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2$. Уравнение: $x^2 = x + 2$, $x^2 - x - 2 = 0$. Корни: $x_1 = 2$ (не подходит по ОДЗ), $x_2 = -1$. Ответ: $-1$. 2. б) $x^2 + 2x - 25 = \frac{x^2 - 25}{x - 5}$. ОДЗ: $x \neq 5$. $x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$. Уравнение: $x^2 + 2x - 25 = x + 5$, $x^2 + x - 30 = 0$. Корни: $x_1 = -6, x_2 = 5$ (не подходит по ОДЗ). Ответ: $-6$. 3. а) $(x-5)(x+7) = \frac{x-5}{x+7}$. ОДЗ: $x \neq -7$. $(x-5)(x+7)^2 = x-5$. $(x-5)((x+7)^2 - 1) = 0$. Корни: $x = 5$ или $(x+7)^2 = 1 \Rightarrow x+7 = \pm 1$. $x = -6$ или $x = -8$. Ответ: $-8; -6; 5$. 3. б) $(y-7)(y-3) = \frac{y-7}{y-3}$. ОДЗ: $y \neq 3$. $(y-7)(y-3)^2 = y-7$. $(y-7)((y-3)^2 - 1) = 0$. Корни: $y = 7$ или $(y-3)^2 = 1 \Rightarrow y-3 = \pm 1$. $y = 4$ или $y = 2$. Ответ: $2; 4; 7$. 4. а) $\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} - 30 = 0$. Пусть $\frac{1}{x} = t$. Тогда $t^2 - t - 30 = 0$. Корни $t = 6, t = -5$. $\frac{1}{x} = 6 \Rightarrow x = \frac{1}{6}$. $\frac{1}{x} = -5 \Rightarrow x = -\frac{1}{5}$. Ответ: $-0,2; \frac{1}{6}$. 4. б) $\frac{1}{z^2} + \frac{2}{z} - 8 = 0$. Пусть $\frac{1}{z} = t$. Тогда $t^2 + 2t - 8 = 0$. Корни $t = -4, t = 2$. $\frac{1}{z} = -4 \Rightarrow z = -0,25$. $\frac{1}{z} = 2 \Rightarrow z = 0,5$. Ответ: $-0,25; 0,5$. 5. а) $\frac{x^2-2x-3}{x-3} = x^2-5$. ОДЗ: $x \neq 3$. Числитель: $x^2-2x-3 = (x-3)(x+1)$. Получаем $x+1 = x^2-5$, $x^2-x-6 = 0$. Корни $x = 3$ (не подходит) и $x = -2$. Ответ: $-2$. 5. б) $\frac{z^2-5z+6}{z-3} = z^2-32$. ОДЗ: $z \neq 3$. Числитель: $z^2-5z+6 = (z-3)(z-2)$. Получаем $z-2 = z^2-32$, $z^2-z-30 = 0$. Корни $z = 6$ и $z = -5$. Ответ: $-5; 6$.