Задача 1. Известно, что неравенства можно перемножать только в том случае, когда обе части неравенств заведомо положительны. Какие пары неравенств можно перемножить?

Задача 1 Для перемножения неравенств почленно необходимо, чтобы все части этих неравенств были положительными. 1) $x > 4$ (положительно) и $3x > 11$ (положительно). Можно. 2) $a < 1$ и $b < 100$. Неизвестно, положительны ли $a$ и $b$. Нельзя. 3) $5 < y$ (положительно) и $4 < 3x$ (положительно). Можно. 4) $a + b \ge 17$ и $c \ge 2$. Неизвестно, положительна ли сумма $a+b$. Нельзя. Ответ: 1 и 3. Задача 2 Дано: $3 < x < 5$, $-5 < y < -2$. 1) $x + y$: складываем неравенства: $3 + (-5) < x + y < 5 + (-2) \Rightarrow -2 < x + y < 3$. 2) $x - y$: это $x + (-y)$. Если $-5 < y < -2$, то $2 < -y < 5$. Складываем $3 < x < 5$ и $2 < -y < 5$: $3 + 2 < x - y < 5 + 5 \Rightarrow 5 < x - y < 10$. 3) $xy$: так как $y$ отрицательно, найдем границы модуля: $2 < -y < 5$. Умножаем $3 < x < 5$ на $2 < -y < 5$: $6 < -xy < 25$, откуда $-25 < xy < -6$. Задача 3 Пусть стороны $a$ и $b$. $30 < a < 35$ и $50 < b < 55$. 1) Периметр $P = 2(a + b)$. $30 + 50 < a + b < 35 + 55 \Rightarrow 80 < a + b < 90$. $160 < 2(a + b) < 180 \Rightarrow 160 < P < 180$. 2) Площадь $S = a \cdot b$. $30 \cdot 50 < a \cdot b < 35 \cdot 55 \Rightarrow 1500 < S < 1925$.