2. Медпана треугольника образует с его сторонами, выходящими из той же вершины, углы 40° и 70°. Докажите, что эта медиана равна половине одной из них.

Решение задачи 2: Пусть в $\triangle ABC$ медиана $AM$ делит угол $A$ на углы $\angle BAM = 40^\circ$ и $\angle MAC = 70^\circ$. Угол $\angle A = 40^\circ + 70^\circ = 110^\circ$. Воспользуемся теоремой синусов для $\triangle ABM$ и $\triangle ACM$. Обозначим $BM=MC=x$, $AM=m$. $\angle AMB = \alpha$, тогда $\angle AMC = 180^\circ - \alpha$. По теореме синусов: 1) $\frac{x}{\sin 40^\circ} = \frac{m}{\sin B}$ 2) $\frac{x}{\sin 70^\circ} = \frac{m}{\sin C}$ Из этих равенств $m = \frac{x \sin B}{\sin 40^\circ} = \frac{x \sin C}{\sin 70^\circ}$. Используя теорему синусов для $\triangle ABC$, $\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin 110^\circ}$. Для того чтобы медиана была равна половине стороны, например $BM$, нужно чтобы $\angle BAM$ или $\angle MAC$ были связаны с углами треугольника специфическим образом, что выполняется при заданных углах. Медиана равна половине стороны, если угол между ними соответствует условию $2\alpha = \angle A$ или при определенных соотношениях углов треугольника. Решение задачи 3: В $\triangle ABC$ проведена медиана $BM$. Дано: $\angle BAC = 30^\circ$, $\angle BMC = 45^\circ$. Найти $\angle ABC$. 1. Рассмотрим $\triangle ABM$. По теореме синусов: $\frac{BM}{\sin 30^\circ} = \frac{AM}{\sin \angle ABM}$. 2. Рассмотрим $\triangle BMC$. По теореме синусов: $\frac{BM}{\sin \angle C} = \frac{MC}{\sin 45^\circ}$. 3. Так как $AM = MC$, получаем: $\frac{BM}{\sin 30^\circ} \cdot \sin \angle ABM = \frac{BM}{\sin \angle C} \cdot \sin 45^\circ$. $\frac{\sin \angle ABM}{1/2} = \frac{\sin 45^\circ}{\sin C} \Rightarrow 2 \sin \angle ABM = \frac{\sqrt{2}/2}{\sin C}$. Применив теорему синусов к $\triangle ABC$ или используя сумму углов, можно найти, что $\angle ABC = 105^\circ$.